培玉 · 一试
2010 年辽宁预赛 · 第 11 题
若关于 的方程
的两个实数根 满足 ，则
的最小值与最大值之和是
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
开口向上的首一二次式在两实根之间非正、外侧非负。圆盘内到定点最远距离不超过圆心距离加半径。
想法从哪来：根被夹在两个区间，直接写求根公式会得到带参数的根式不等式。首一二次函数开口向上，可以先看它在零与一处的符号：零在两根之间使函数值非正，再由一处非负控制右根不超过一。这里两条符号条件同时保证了实根存在，所以不必再独立堆一个判别式。展开后，一个条件是圆盘，另一个是半平面；目标恰是参数点到某定点的距离平方。最小值先用半平面的正交投影给候选，再核落在圆盘里；最大值用圆心与定点的连线延长取得，再核半平面。候选可行性是两端都不可省的步骤。
先把两根的位置条件变成二次函数在0与1处的符号，再将系数平面中的约束化为圆盘和半平面。目标是到固定点的距离平方，两端分别由直线距离界与圆盘最远点给出。
解答
设题给关于 的首一二次式为 。根条件等价于 且 ：前者保证有实根且0位于两根之间，后者再由 保证 。化简得
目标 。令 ，半平面条件为 ，故 。取 ，圆盘左边为 且半平面取等，因此最小值为 。 圆盘中心为 、半径2，而 是点 到 的距离平方，。三角不等式给出 。取
位于圆周上且 ，达到上界。故所求两端之和为 。
复核
当 时，可能0本身是任一端根，但 仍严格为正，所以符号等价没有漏掉零根。两个取等点都核过圆盘与半平面，不能直接采用完整圆盘的最近点，因为它可能被半平面截掉。
方法总结
根的位置可通过首一二次式在区间端点的符号转成系数几何区域。截圆盘的距离最值须分别检查每个候选取等点是否满足保留的半平面。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
把两实根的区间位置转为端点符号，化成圆盘与半平面后求距离平方最值，并验证两个取等点可行。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：二次方程根的位置与符号、柯西不等式与投影
已记下，谢谢！