2017 年天津预赛

正四棱锥的底面边长为 $2017$，侧棱长为 $2000$，则侧棱与底面所成的角与下面哪个角的差的绝对值最小（ ）。

1. (A)

   $30^{\circ }$

2. (B)

   $40^{\circ }$

3. (C)

   $50^{\circ }$

4. (D)

   $60^{\circ }$

02. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差不为零，且 $a_2,a_3,a_9$ 构成等比数列，则

的值是（ ）。

1. (A)

   $\frac{8}{3}$

2. (B)

   $\frac{7}{3}$

3. (C)

   $3$

4. (D)

   $\frac{5}{3}$

03. 将曲线 $y={\log }_{2}x$ 沿 $x$ 轴正方向移动 $1$ 个单位，再沿 $y$ 轴负方向移动 $2$ 个单位，得到曲线 $C$。在下列曲线中，与 $C$ 关于直线 $x+y=0$ 对称的是（ ）。

1. (A)

   $y=2^{x+2}-1$

2. (B)

   $y=-2^{x+2}-1$

3. (C)

   $y=-2^{2-x}-1$

4. (D)

   $y=2^{2-x}-1$

如果 $x\in [0,1]$，且

为整数，则满足此条件的实数 $x$ 有（ ）。

1. (A)

   $12$ 个

2. (B)

   $13$ 个

3. (C)

   $14$ 个

4. (D)

   $15$ 个

实数 $a,b$ 满足 $|a|\le 1,|a+b|\le 1$，则 $(a+1)(b+1)$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $[0,\frac{9}{4}]$

2. (B)

   $[-2,\frac{9}{4}]$

3. (C)

   $[0,2]$

4. (D)

   $[-2,2]$

06. 设复数 $z$ 满足

则下列判断错误的是（ ）。

1. (A)

   $z$ 可能为纯虚数

2. (B)

   $z$ 可能为实数

3. (C)

   $z$ 的实部小于 $2$

4. (D)

   $z$ 的辐角可能为 $\frac{\pi }{4}$

07. $(\sqrt{x}+1{)}^4(x-1{)}^5$ 的展开式中，$x^4$ 的系数是。

08. 正 $2017$ 边形 $A_1{A}_2\cdots A_{2017}$ 内接于单位圆 $O$。任取它的两个不同顶点 $A_i,A_j$，则

的概率是。

09. 已知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $2$ 的等比数列，$\{b_n\}$ 是首项为 $2$、公差为 $5$ 的等差数列。同时出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列 $\{x_n\}$，则 $x_{100}=\underline{}$。

10. 设 $F$ 是椭圆

的左焦点，$A$ 是该椭圆上位于第一象限的一点。过 $A$ 作圆 $x^2+y^2=b^2$ 的切线，切点为 $P$。则 $|AF|-|AP|=\underline{}$。

在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为。

如果不等式

对一切 $x\in [-1,1]$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是。

设 $△ABC$ 的三个内角分别为 $A,B,C$。若 $BC$ 的中点为 $M$，证明：

设直线 ${\ell }_1:y=\sqrt{3}x,{\ell }_2:y=-\sqrt{3}x$。点 $A$ 和点 $B$ 分别在直线 ${\ell }_1,{\ell }_2$ 上运动，且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-2$。

(1) 求 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹；

(2) 设点 $P(-2,0)$ 关于直线 $AB$ 的对称点为 $Q$，证明直线 $MQ$ 过定点。

如果整数 $n\ge 2$，证明：