培玉 · 一试

2010 年河北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知关于 $x$ 的不等式 $x + 2 - x \geq k$ 有实数解，则实数 $k$ 的取值范围是（）。

(A)
$(0, 2]$
(B)
$(- \infty, 0]$
(C)
$(- \infty, 0)$
(D)
$(- \infty, 2]$

第 2 题

将正偶数集合 ${2, 4, 6, 8, \dots}$ 从小到大按第 $n$ 组有 $2 n - 1$ 个数进行分组：

{2}, {4, 6, 8}, {10, 12, 14, 16, 18}, \dots

，问 $2010$ 位于第（）组中。

(A)
$30$
(B)
$31$
(C)
$32$
(D)
$33$

第 3 题

四面体 $S$ - $A BC$ 中，三组对棱分别相等，依次为 $5, 4, x$ ，则 $x$ 的取值范围为（）。

(A)
$(2, 41)$
(B)
$(3, 9)$
(C)
$(3, 41)$
(D)
$(2, 9)$

第 4 题

对于任意的整数 $n$ （ $n \geq 2$ ），满足 $a^{n} = a + 1$ ， $b^{2 n} = b + 3 a$ 的正数 $a, b$ 的大小关系（）。

(A)
$a > b > 1$
(B)
$b > a > 1$
(C)
$a > 1, 0 < b < 1$
(D)
$0 < a < 1, b > 1$

第 5 题

函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ 的图象的对称中心为（）。

(A)
$(- 1, 2)$
(B)
$(1, 2)$
(C)
$(- 1, - 2)$
(D)
$(1, - 2)$

第 6 题

从满足 $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \geq 1)$ 的数列 ${a_{n}}$ 中，依次抽出能被 $3$ 整除的项组成数列 ${b_{n}}$ ，则 $b_{100} =$ （）。

(A)
$a_{100}$
(B)
$a_{200}$
(C)
$a_{300}$
(D)
$a_{400}$

第 7 题

函数 $y = f (x + 1)$ 的反函数是 $y = f^{- 1} (x + 1)$ ，且 $f (1) = 4007$ ，则 $f (1998) =$ 。

第 8 题

正三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长均为 $3$ 。长为 $2$ 的线段 $MN$ 的一个端点 $M$ 在 $A A_{1}$ 上运动，另一端点 $N$ 在底面 $A BC$ 上运动，则 $MN$ 的中点 $P$ 的轨迹（曲面）与正三棱柱共顶点 $A$ 的三个面所围成的几何体的体积为。

第 9 题

已知圆 $C_{1} : (x + 3)^{2} + y^{2} = 4$ ， $C_{2} : x^{2} + (y - 5)^{2} = 4$ 。对平面内的点 $P$ 有无数多对过 $P$ 的互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1}, C_{2}$ 相交，且被圆 $C_{1}, C_{2}$ 截得的弦长相等，则点 $P$ 坐标为。

第 10 题

由 $1, 2, \dots, n$ 排列而成的 $n$ 项数列 ${a_{n}}$ 满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项，则满足这样条件的数列 ${a_{n}}$ 的个数为。

第 11 题

已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c \geq 0$ （ $a < b$ ），则

M = \frac{a + 2 b + 4 c}{b - a}

的最小值为。

第 12 题

某家电影院的票价为每张 $5$ 元，现有 $10$ 个人，其中 $5$ 个人手持 $5$ 元钞票，另外 $5$ 个人手持 $10$ 元钞票。假设开始售票时售票处没有钱，这 $10$ 个人随机排队购票，则售票处不会出现找不开钱的局面的概率是。

第 13 题

已知 $a, b \in [1, 3]$ ， $a + b = 4$ ，求证：

10 \leq a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} < \frac{4 6}{3} .

第 14 题

如图，四棱锥 $P$ - $A BC D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A BC D$ ，且 $P A = 4$ ，底面 $A BC D$ 为直角梯形， $∠ C D A = ∠ B A D = 9 0^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $C D = 1$ ， $A D = 2$ 。 $M, N$ 分别为 $P D, PB$ 的中点，平面 $MCN$ 与 $P A$ 交点为 $Q$ 。

（1）求 $PQ$ 的长度；（2）求截面 $MCN$ 与底面 $A BC D$ 所成二面角的大小；（3）求点 $A$ 到平面 $MCN$ 的距离。

第 15 题

设 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ 。

证明：（1）对所有的 $n$ ， $a_{n} \equiv 3 (mod 4)$ ；（2）当 $m \neq = n$ 时， $(a_{m}, a_{n}) = 1$ （ $a_{m}, a_{n}$ 互质）。

第 16 题

已知椭圆 $C$ 过点 $M (2, 1)$ ，两个焦点分别为 $(- 6, 0), (6, 0)$ 。 $O$ 为坐标原点，平行于 $OM$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于不同的两点 $A, B$ 。

（1）求 $△ O A B$ 面积的最大值；（2）证明：直线 $M A, MB$ 与 $x$ 轴围成一个等腰三角形。

第 17 题

已知函数

f (x) = \frac{1}{2} m x^{2} - 2 x + 1 + ln (x + 1) (m \geq 1) .

（1）若曲线 $C : y = f (x)$ 在点 $P (0, 1)$ 处的切线 $l$ 与 $C$ 有且只有一个公共点，求 $m$ 的值；（2）求证：函数 $f (x)$ 存在单调递减区间 $[a, b]$ ，并求出单调递减区间的长度 $t = b - a$ 的取值范围。