培玉 · 一试

2021 年福建预赛

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第 1 题

若 $x_{1} = 1, x_{2} = 1 - i, x_{3} = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）为方程

x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0

的三个解，则 $a + b - c =$ 。

第 2 题

已知

f (x) = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{4}} .

若 $f (a - 2) < f (2 a + 1)$ 成立，则 $a$ 的取值范围为。

第 3 题

在四边形 $A BC D$ 中，已知

cos ∠ B A D = \frac{3}{4}, ∠ B A C = ∠ D A C, A D < A B,

且 $A B = 5, A C = B D = 14$ 。若

A C = λ A B + μ A D (λ, μ \in R),

则 $λ + μ =$ 。

第 4 题

在长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = BC = 6, A A_{1} = 2$ 。点 $M, N$ 分别在棱 $D A, D C$ 上，二面角 $D_{1} - MN - D$ 的大小为 $4 5^{\circ}$ 。若三棱锥 $D_{1} - D MN$ 的体积为 $163 /9$ ，则三棱锥 $D_{1} - D MN$ 外接球的表面积为。

第 5 题

已知 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是两个二次项系数均为 $1$ 的二次函数。若

g (6) = 35, \frac{f ( - 1 )}{g ( - 1 )} = \frac{f ( 1 )}{g ( 1 )} = \frac{21}{20},

则 $f (6) =$ 。

第 6 题

若关于 $x$ 的不等式

(x - 2) e^{x} < a x + 1

有且仅有三个不同的整数解，则整数 $a$ 的最小值为。

第 7 题

若正实数 $x, y$ 满足 $x (x + 2 y) = 9$ ，则 $x^{5} y$ 的最大值为。

第 8 题

已知离心率为 $6 /2$ 的双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 。 $P$ 为双曲线上一点， $R, r$ 分别为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆、内切圆半径。若 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{\circ}$ ，则 $R / r =$ 。

第 9 题

若 $5 π$ 是函数

f (x) = cos n x \cdot sin \frac{80}{n ^{2}} x

的一个周期，则正整数 $n$ 的所有可能取值为。

第 10 题

若整数 $a, b, c$ 满足

0 \leq a, b, c \leq 10, 10 \leq a + b + c \leq 20,

则满足条件的有序数组 $(a, b, c)$ 共有组。

第 11 题

已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足

a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1} - 1, b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{2 ^{n}} (n \in N_{+}) .

（1）求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（2）设 $c_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{b _{n}}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项的和，求证： $T_{2 n} > - \frac{2}{2}$ 。

第 12 题

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为 $2/3$ ， $A_{1}, A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $F_{1}$ 为椭圆 $C$ 的左焦点，且 $△ A_{1} F_{1} B$ 的面积为 $5 /2$ 。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）设过点 $D (1, 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $E, F$ 两点（点 $E$ 在 $x$ 轴上方）， $M, N$ 分别为直线 $A_{1} E, A_{2} F$ 与 $y$ 轴的交点。求 $∣ OM ∣/∣ ON ∣$ 的值。

第 13 题

设 $△ A BC$ 的内切圆 $I$ 与三边分别相切于点 $D, E, F$ ，连接 $A D$ 与内切圆 $I$ 的另一个交点为 $P$ 。过点 $P$ 分别作 $A C, A B$ 的平行线，与圆 $I$ 的另一个交点分别为 $R, Q$ 。 $△ D PQ$ 和 $△ D PR$ 的内心分别为 $I_{1}, I_{2}$ 。证明：

I_{1} I_{2} ∥ EF .

第 14 题

已知

f (x) = e^{x} - x^{a}, x > 0, a \in R .

（1）若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最大值；

（2）若 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，且 $x_{1} > x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 a$ 。

第 15 题

设数列 ${a_{n}}$ 是正整数数列，满足

a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} + (n + 1, a_{n}), n = 1, 2, 3, \dots .

（1）求证：当 $a = 3$ 时，存在唯一一个正整数 $k$ ，使得 $a_{k} = 2 k$ ；

（2）若 $a > 3$ ，试探究满足 $a_{k} = 2 k$ 的正整数 $k$ 的存在性及其个数，并证明你的结论。

注：这里 $(x, y)$ 表示正整数 $x, y$ 的最大公约数。