2014 年天津预赛

在平面直角坐标系中，方程

所表示的图形是（ ）。

1. (A)

   直线

2. (B)

   抛物线

3. (C)

   一个点

4. (D)

   以上都不对

圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$，体积为 $2$，表面积为 $24$，则

的值是（ ）。

1. (A)

   $6$

2. (B)

   $8$

3. (C)

   $12$

4. (D)

   $24$

等比数列 $a_n$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，并且对任意正整数 $n$ 成立

则 $a_2$ 的值是（ ）。

1. (A)

   $2$

2. (B)

   $6$

3. (C)

   $2$ 或 $6$

4. (D)

   $2$ 或 $-6$

若关于 $x$ 的不等式

在区间 $[1,2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $\left(0,\frac{4}{3}\right]$

2. (B)

   $\left(1,\frac{4}{3}\right]$

3. (C)

   $\left[1,\frac{4}{3}\right]$

4. (D)

   $\left[\frac{16}{7},\frac{4}{3}\right]$

直线 $l$ 在平面 $\pi$ 上。直线 $m$ 平行于平面 $\pi$，并与直线 $l$ 异面。动点 $P$ 在平面 $\pi$ 上，且到 $l$ 和 $m$ 的距离相等，则 $P$ 点的轨迹是（ ）。

1. (A)

   直线

2. (B)

   椭圆

3. (C)

   抛物线

4. (D)

   双曲线

如果 $△ABC$ 中，$\tan A$、$\tan B$、$\tan C$ 都是整数，且 $A>B>C$，则以下说法中错误的是（ ）。

1. (A)

   $A<80^{\circ }$

2. (B)

   $B<60^{\circ }$

3. (C)

   $C<50^{\circ }$

4. (D)

   $A>65^{\circ }$

若正实数 $a,b$ 满足

则 ${\log }_{4}a+{\log }_{8}b$ 的值是。

设

当 $\alpha =\frac{67\pi }{2014}$ 时，$x$ 的小数点后第一位数字是。

数列 $\{a_n\}$ 满足

若 $a_7=8$，则 $a_1+a_2+\cdots +a_{10}$ 等于。

若 $a=1+i$，$b=2+i$，$c=3+i$，$x=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)$，则

的值是。

将集合

中的数从小到大排列，第 $100$ 个是（用数字作答）。

函数 $f(x)$ 满足

则 $f(84)$ 的值是。

设 $A,B$ 是椭圆

上的两个动点，$O$ 是坐标原点，且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$。又设 $P$ 点在 $AB$ 上，且 $OP\perp AB$。求 $|OP|$ 的值。

在四面体 $ABCD$ 内部有一点 $O$，满足

求四面体 $ABCD$ 体积的最大值。

设函数

1. (1)

   证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>\frac{x}{x+1}$；

2. (2)

   数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{3}$，且

   $$a_n{e}^{-a_{n+1}}=f(a_n),$$

   证明：数列 $\{a_n\}$ 递减且 $a_n<\frac{1}{2^n}$。