2014 年天津预赛 · 第 15 题

解答

当 $x>0$ 时，$e^x>1+x$，取正倒数得 $e^{-x}<1/(1+x)$，因此 $\boxed{f(x)>x/(1+x)}$。又 $0<1-e^{-x}<x$，原数列关系可唯一改写为 $a_{n+1}=\ln [a_n/(1-e^{-a_n})]>0$。对任意 $x>0$，函数 $e^{x/2}-e^{-x/2}-x$ 在零处为零，导数 $(e^{x/2}+e^{-x/2})/2-1$ 严格为正，故 $x<e^{x/2}-e^{-x/2}$。等价地，$x/(1-e^{-x})<e^{x/2}$，所以 $0<a_{n+1}<a_n/2$。从 $a_1=1/3$ 归纳，$a_n\le 1/(3\cdot 2^{n-1})<1/2^n$，故 $\boxed{\{a_n\}\text{严格递减且 }{a}_n<2^{-n}}$。