培玉 · 一试

2024 年吉林预赛

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第 1 题

记

S = \frac{3 ^{2} + 4}{3 ^{2} - 4} + \frac{4 ^{2} + 4}{4 ^{2} - 4} + \frac{5 ^{2} + 4}{5 ^{2} - 4} + \dots + \frac{1 3 ^{2} + 4}{1 3 ^{2} - 4},

则与 $S$ 最接近的整数为

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17.

第 2 题

在四边形 $A BC D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A C = λ A B + μ A D (λ, μ \in R)$ 。若 $λ + μ = 3/2$ ，则

\frac{∣ C D ∣}{∣ A B ∣} = A. \frac{1}{3} B. \frac{1}{2} C. 1 D. 2.

第 3 题

函数 $f (x) = a x^{3} - 6 x (a \in R)$ 。若 $∣ f (x) ∣ \leq 2$ 对任意 $x \in [- 1, 1/2]$ 成立，则下列命题正确的是

A. ∣ f (x) ∣ \leq 1, B. ∣ f (x) ∣ \leq 3/2, C. ∣ f (x) ∣ \leq 18, D. ∣ f (x) ∣ \leq 35/2, x \in [- 1/2, 1/2], x \in [- 1/2, 1/2], x \in [- 3/2, 3/2], x \in [- 3/2, 3/2] .

第 4 题

在正四面体 $A BC D$ 中，棱 $A D$ 的中点和面 $BC D$ 的中心的连线为 $MN$ ，棱 $C D$ 的中点和面 $A BC$ 的中心的连线为 $PQ$ ，则 $MN$ 与 $PQ$ 所成角的余弦值为

A. \frac{1}{18} B. \frac{1}{17} C. \frac{1}{16} D. \frac{1}{15} .

第 5 题

已知

f (x) = 2 x^{4} - 18 x^{2} + 12 x + 68 + x^{2} - x + 1,

则

A. $f (x)$ 的最小值为 $8$ ，	B. $f (x)$ 的最小值为 $9$ ，
C. $f (x) = 8$ 有 $1$ 个实根，	D. $f (x) = 9$ 有 $1$ 个实根。

第 6 题

已知 $A, B, C$ 是平面上三个不同点，且 $BC = a, C A = b, A B = c$ ，则 $\frac{c}{a + b} + \frac{b}{c}$ 的最小值为

A. 2 - \frac{1}{2} B. \frac{2}{2} - \frac{1}{2} C. 2 - \frac{2}{2} D. 1 - \frac{2}{2} .

第 7 题

设集合 $S = {1, 2, 3, 4, 5}$ 。若 $S$ 的子集 $A$ 满足：若 $x \in A$ ，则 $6 - x \in A$ ，则称 $A$ 具有性质 $p$ 。从 $S$ 的所有非空子集中等可能地取一个，所取子集具有性质 $p$ 的概率为。

第 8 题

函数 $f (x) = lo g_{a} (4 - a x) (a > 0, a \neq = 1)$ 。若 $f (x) \geq 1$ 对任意 $x \in [1, 2]$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是。

第 9 题

已知甲、乙、丙、丁四位同学对某 $10$ 道判断题的解答如下：

题号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
甲	$\times$	$✓$	$\times$	$\times$	$✓$	$\times$	$✓$	$✓$	$✓$	$\times$
乙	$\times$	$\times$	$✓$	$✓$	$\times$	$✓$	$✓$	$✓$	$\times$	$\times$
丙	$✓$	$✓$	$\times$	$✓$	$✓$	$✓$	$\times$	$✓$	$\times$	$✓$
丁	$\times$	$\times$	$✓$	$✓$	$\times$	$\times$	$✓$	$✓$	$\times$	$\times$

若甲、乙、丙三人均答对 $7$ 题，则丁答对的题数为。

第 10 题

已知函数

f (x) = ln x - \frac{1}{x ^{2}} + \frac{2 a}{x} - a x .

若存在 $m > 0$ ，使得 $f (m) \geq a^{2}$ ，则实数 $a$ 的最大值为。

第 11 题

设函数 $f (x) = sin x sin 3 x$ 。若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在 $(0, π]$ 上有奇数个不同实数解，则实数 $a$ 的值为。

第 12 题

在 $△ A BC$ 中， $A P$ 平分 $∠ B A C$ 且交 $BC$ 于 $P$ ， $BQ$ 平分 $∠ A BC$ 且交 $C A$ 于 $Q$ ， $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ ，且 $A B + BP = A Q + QB$ ，则 $∠ A BC$ 的度数为。

第 13 题

已知椭圆 $C_{1}$ 的中心为坐标原点 $O$ ，焦点在坐标轴上。圆 $C_{2}$ 的圆心为 $O$ ，过点 $(- 2, 0)$ 且倾斜角为 $3 0^{\circ}$ 的直线与圆 $C_{2}$ 相切。

(1) 求圆 $C_{2}$ 的方程；

(2) 过圆 $C_{2}$ 上任意一点 $P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq = 0)$ 作圆 $C_{2}$ 的切线，与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，均有 $∠ A OB = 9 0^{\circ}$ 。判断椭圆 $C_{1}$ 是否过定点，并说明理由。

第 14 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，

a_{n + 1} = \frac{1}{a _{n}} + a_{n - 1} (n \geq 2) .

求证： $k = 1 \sum 2024 \frac{1}{a _{k}} > 88$ 。

第 15 题

如图， $⊙ O_{1}, ⊙ O_{2}$ 外切于点 $A$ ，过 $A$ 的直线交 $⊙ O_{1}$ 于另一点 $B$ ，交 $⊙ O_{2}$ 于另一点 $C$ 。 $C D$ 切 $⊙ O_{1}$ 于 $D$ 。在 $B D$ 的延长线上取点 $F$ ，使 $B F^{2} = B C^{2} - C D^{2}$ ，连接 $CF$ 交 $⊙ O_{2}$ 于 $E$ 。求证： $D E$ 与 $⊙ O_{2}$ 相切。

第 16 题

全体正有理数集 $Q^{+}$ 被分拆为三个集合 $A, B, C$ ，满足

B * A = B, B * B = C, B * C = A,

其中 $H * K = {hk ∣ h \in H, k \in K}$ 。

(1) 给出一个满足要求的例子；

(2) 再给出一个例子，且 $1, 2, \dots, 35$ 中任意两个相邻正整数均不同时在 $A$ 中。