培玉 · 一试

2008 年天津预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 15/15 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ，则方程 $f (f (x)) = 0$ 不同实数根的数目为（）。

A.
$1$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

第 2 题

抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的参数 $a, b$ 满足 $8 a^{2} + 4 ab = b^{3}$ ，则当 $a, b$ 变动时，抛物线的顶点一定在（）上。

A.
抛物线
B.
双曲线
C.
圆或椭圆
D.
直线

第 3 题

如图，已知 $L, M, N$ 分别为 $△ A BC$ 的三边 $BC, C A, A B$ 的中点； $D, E$ 分别是 $BC, A B$ 上的点，并满足 $A D, CE$ 均平分 $△ A BC$ 的周长。 $P, Q$ 分别是 $D, E$ 关于 $L, N$ 的对称点， $PQ$ 与 $L M$ 交于点 $F$ 。若 $A B > A C$ ，则 $A F$ 一定过 $△ A BC$ 的（）。

A.
内心
B.
外心
C.
重心
D.
垂心

第 4 题

若方程 $a^{x} + 2 x - 4 = 0$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）的所有根为 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k}$ ，其中 $k$ 为正整数；方程 $lo g_{a} (2 x) + x - 2 = 0$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）的所有根为 $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l}$ ，其中 $l$ 为正整数，则

\frac{u _{1} + u _{2} + \dots + u _{k} + v _{1} + v _{2} + \dots + v _{l}}{k + l}

的值为（）。

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$1$
D.
$2$

第 5 题

考虑集合 $S = {1, 2, \dots, 10}$ 的所有非空子集。若一个非空子集中偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则“好子集”的数目有（）个。

A.
$631$
B.
$633$
C.
$635$
D.
$637$

第 6 题

设不定方程

x^{2} + y^{2} + z^{2} - x yz + 10 = 0

的正整数解 $(x, y, z)$ 中满足 $x, y, z$ 均大于 $2008$ 的不同解的数目为 $k$ ，则 $k$ 满足（）。

A.
$k = 0$
B.
$1 \leq k \leq 2008$
C.
$k > 2008$ ，但 $k$ 是有限的数
D.
$k$ 是无穷大

第 7 题

函数

f (x) = \frac{sin ( x + 4 5 ^{\circ} )}{sin ( x + 6 0 ^{\circ} )}, x \in [0^{\circ}, 9 0^{\circ}],

则 $f (x)$ 的最大值与最小值的乘积为。

第 8 题

若方程

z^{2009} + z^{2008} + 1 = 0

有模为 $1$ 的根，则所有模为 $1$ 的根的和为。

第 9 题

考虑 $4 \times 4$ 的正方形方格表中的 $25$ 个格点。

则通过至少 $3$ 个格点的不同直线的数目为。

第 10 题

设 $⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则

k = 1 \sum 2008 ⌊ \frac{2008 k}{2009} ⌋

的值是。

第 11 题

已知长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 满足 $A A_{1} = 2, A D = 3, A B = 251$ 。平面 $A_{1} B D$ 分别与 $C C_{1}, C_{1} B_{1}, C_{1} D_{1}$ 交于点 $L, M, N$ ，则四面体 $C_{1} L MN$ 的体积为。

两个立体的框架叠绘；虚实分别按各自表面的遮挡判断。

第 12 题

已知半径为 $R$ 的圆 $O$ 外有一条直线 $ℓ$ ， $O$ 在 $ℓ$ 上的投影为 $H$ ， $O H = d$ ， $O H$ 与圆 $O$ 交于点 $C, D$ ， $C H > DH$ 。设 $P, Q$ 为 $ℓ$ 上的点， $P, Q$ 在 $H$ 的同侧，且 $P H = a, Q H = b, a > b$ 。圆 $O$ 中有 $2008$ 条平行于 $ℓ$ 的弦 $A_{i} B_{i} (i = 1, 2, \dots, 2008)$ ，且这 $2008$ 条弦与 $C D$ 的交点均分 $C D$ ，则

\frac{1}{2008} i = 1 \sum 2008 (P A_{i}^{2} + P B_{i}^{2} + Q A_{i}^{2} + Q B_{i}^{2})

的值为（用 $a, b, d, R$ 表述）。

第 13 题

如图，已知锐角 $△ A BC$ 的三边 $BC, C A, A B$ 的中点分别为 $D, E, F$ ，在 $EF, F D, D E$ 的延长线上分别取点 $P, Q, R$ ，若 $A P = BQ = CR$ ，证明 $△ PQR$ 的外心为 $△ A BC$ 的垂心。

第 14 题

已知数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 满足

a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n + 1} = \frac{n ^{2} a _{n}^{2} + 5}{( n ^{2} - 1 ) a _{n - 1}} (n \geq 2),

求 $a_{n}$ 的通项公式。

第 15 题

有 $10$ 个选手 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{10}$ ，他们的积分分别为 $9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0$ ，

名次分别为第 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 。

现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负。若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得 $2$ 分，负者得 $0$ 分。全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）。