2013 年辽宁预赛

已知集合 $A=\{x\mid x^2-3x-10\le 0\}$，$B=\{x\mid m+1\le x\le 2m-1\}$。当 $A\cap B=\varnothing$ 时，实数 $m$ 的取值范围是（ ）。

(A) $2<m<4$   (B) $m<2$ 或 $m>4$
(C) $-\frac{1}{2}<m<4$   (D) $m<-\frac{1}{2}$ 或 $m>4$。

过原点的直线 $l$ 交双曲线 $xy=-2\sqrt{2}$ 于 $P,Q$ 两点，其中 $P$ 点在第二象限。将下半平面沿 $x$ 轴折起，使之与上半平面成直二面角，线段 $PQ$ 的最短长度是（ ）。
(A) $2\sqrt{2}$   (B) $3\sqrt{2}$   (C) $4\sqrt{2}$   (D) $4$。

设 $a,b,c$ 均为非零复数，令 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。若 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$，则 $\frac{a+b-c}{a-b+c}$ 的值为（ ）。
(A) $1$   (B) $\pm \omega$
(C) $1,\omega ,{\omega }^2$   (D) $1,-\omega ,{\omega }^2$。

设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty )$ 上的单调函数，且对任意 $x\in (0,+\infty )$，都有 $f(f(x)-{\log }_{2}x)=6$。若 $x_0$ 是方程 $f(x)-f^{\prime }(x)=4$ 的一个解，且 $x_0\in (a-1,a)$（$a\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），则 $a$ 的值为（ ）。
(A) $1$   (B) $2$   (C) $3$   (D) $4$。

已知实数 $x,y$ 满足 $17(x^2+y^2)-30xy-16=0$，则 $\sqrt{16x^2+4y^2-16xy-12x+6y+9}$ 的最大值是（ ）。
(A) $7$   (B) $\sqrt{29}$   (C) $\sqrt{19}$   (D) $3$。

若 $2^a+2^b=2^{a+b}$，且 $2^a+2^b+2^c=2^{a+b+c}$，则 $2^c$ 的最大值是。

长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=A{A}_1=4,AD=3$，则异面直线 $A_{1}D$ 与 $B_1{D}_1$ 的距离为。

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，斜率为 $1$ 且过点 $M(b,0)$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点。设 $O$ 为坐标原点，若 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{32}{5}\cot \angle AOB$，则该椭圆的方程为。

将 $11$ 个完全一样的小球放入 $6$ 个各不相同的盒子中，使得至多有 $3$ 个空盒子的放法有种。

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^x-1,& x\le 0,\\ f(x-1)+1,& x>0.\end{array}$ 设方程 $f(x)=x$ 在区间 $(0,n]$ 内所有实根的和为 $S_n$，则数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n=$。

数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=6$，$a_n-2a_{n-1}=\frac{2a_{n-1}}{n}+n+1$（$n\ge 2$），则此数列的通项公式 $a_n=$。

设关于 $x$ 的方程 $x^2-mx-1=0$ 有两个实根 $\alpha ,\beta$（$\alpha <\beta$），函数 $f(x)=\frac{2x-m}{x^2+1}$。
(1) 求 $\alpha f(\alpha )+\beta f(\beta )$ 的值；
(2) 判断 $f(x)$ 在区间 $(\alpha ,\beta )$ 的单调性，并加以证明；
(3) 若 $\lambda ,\mu$ 均为正实数，证明：
$\left|f\left(\frac{\lambda \alpha +\mu \beta }{\lambda +\mu }\right)-f\left(\frac{\mu \alpha +\lambda \beta }{\lambda +\mu }\right)\right|<|\alpha -\beta |$。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_{n+1}=a_n^2-n{a}_n+\lambda$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\lambda$ 为实数）。
(1) 若 $a_n\ge 2n$ 恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围；
(2) 若 $\lambda =-2$，求证：
$\frac{1}{a_1-2}+\frac{1}{a_2-2}+\cdots +\frac{1}{a_n-2}<2$。

如图，在锐角 $△ABC$ 中，$AB<AC$，且点 $D,E$ 在边 $BC$ 上，满足 $BD=CE$。若在 $△ABC$ 内存在点 $P$ 满足 $PD\Vert AE$ 且 $\angle PAB=\angle EAC$，证明：$\angle PBA=\angle PCA$。

设点 $P$ 为圆 $C_1:x^2+y^2=2$ 上的动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$。点 $M$ 满足 $\sqrt{2}\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{PQ}$。
(1) 求点 $M$ 的轨迹 $C_2$ 的方程；
(2) 过直线 $x=2$ 上的点 $T$ 作圆 $C_1$ 的两条切线，设切点分别为 $A,B$。若直线 $AB$ 与（1）中的曲线 $C_2$ 交于 $C,D$ 两点，求 $\left|\frac{CD}{AB}\right|$ 的取值范围。