2013 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

若全部 $a_n\ge 2n$，则 $a_2=6+\lambda \ge 4$，所以 $\lambda \ge -2$。反之，$a_1=3\ge 2$，$a_2\ge 4$；当 $n\ge 2$ 且 $a_n\ge 2n$，函数 $t^2-nt$ 在 $t\ge 2n$ 上递增，故 $a_{n+1}\ge 2n^2-2\ge 2n+2$。归纳得 $\boxed{\lambda \in [-2,\infty )}$。取 $\lambda =-2$，令 $b_n=a_n-2$，则 $b_{n+1}-2b_n=(b_n-n)(b_n+2)$。$b_1=1$；对 $n\ge 2$，第一问给 $b_n\ge 2n-2\ge n$，且 $n=1$ 时也有 $b_1=n$。于是 $b_{n+1}\ge 2b_n$，$b_n\ge 2^{n-1}>0$。因此 $\boxed{\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k-2}\le \sum _{k=1}^n{2}^{1-k}=2(1-2^{-n})<2}$。