2014 年辽宁预赛

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第 1 题

已知 $A \cup B \cup C = {a, b, c, d, e, f}$ ， $A \cap B = {a, b, c, d}$ ，且 $c \in A \cap B \cap C$ ，则符合上述条件的有序集合组 $(A, B, C)$ 共有（）。
(A) $100$ (B) $140$ (C) $180$ (D) $200$ 。

第 2 题

已知

S_{1} = {(x, y) ∣ lo g_{2} (1 + x^{2} + y^{2}) \leq 1 + lo g_{2} (x + y)},

并且

S_{2} = {(x, y) ∣ lo g_{\frac{1}{2}} (2 + x^{2} + y^{2}) \geq - 2 + lo g_{\frac{1}{2}} (x + y)},

则 $S_{2}$ 与 $S_{1}$ 的面积比为（）。
(A) $2 : 1$ (B) $4 : 1$ (C) $6 : 1$ (D) $8 : 1$ 。

第 3 题

已知 $△ A BC$ 的三边 $a, b, c$ 成等比数列， $a, b, c$ 的对角依次为 $A, B, C$ ，则 $sin B + cos B$ 的取值范围是（）。
(A) $[\frac{1}{2}, 1 + \frac{3}{2}]$ (B) $(1, 2]$
(C) $(1, 1 + \frac{3}{2}]$ (D) $[\frac{1}{2}, 2]$ 。

第 4 题

$△ A BC$ 的三个内角为 $A, B, C$ 。若

\frac{sin A + 3 cos A}{cos A - 3 sin A} = tan \frac{7 π}{12},

则 $sin 2 B + 2 cos C$ 的最大值为（）。
(A) $\frac{1}{2}$ (B) $1$ (C) $\frac{3}{2}$ (D) $2$ 。

第 5 题

正项数列 ${a_{n}}$ 满足

\frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} + \frac{1}{a _{n} a _{n + 2}} + \frac{1}{a _{n + 1} a _{n + 2}} = 1 (n \in N^{*}),

且 $a_{1} + a_{3} = 6$ ， $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 单调递增且成等比数列。设 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2014}]$ 的值是（）（其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）。
(A) $5368$ (B) $5367$ (C) $5363$ (D) $5362$ 。

第 6 题

设直线 $l$ 与球 $O$ 有且只有一个公共点 $P$ 。从直线 $l$ 出发的两个半平面 $α, β$ 截球 $O$ 的两个截面圆半径分别为 $1$ 和 $3$ ，二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则球 $O$ 的半径为（）。
(A) $7$ (B) $27$ (C) $10$ (D) $210$ 。

第 7 题

若非零复数 $x$ 满足 $x + \frac{1}{x} = 1$ ，则

x^{2014} + \frac{1}{x ^{2014}} = .

第 8 题

不等式

\frac{4 x ^{2}}{( 1 - 1 + 2 x ) ^{2}} < 2 x + 9

的解集为 .

第 9 题

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 $1$ 分、负者得 $0$ 分。比赛进行到有一人比对方多 $2$ 分或打满 $6$ 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙在每局中获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 $ξ$ 的期望 $E ξ$ 为 .

第 10 题

如图，在 $△ A BC$ 中， $cos C = \frac{2 5}{5}$ ， $A H ⊥ BC$ ，且 $A B \cdot (C A + CB) = 0$ ，则过点 $C$ 、以 $A, H$ 为两焦点的双曲线的离心率为 .

第 11 题

设 $A$ 是由任意 $100$ 个互不相同的正整数组成的集合，令

B = {\frac{a}{b} a, b \in A, a \neq = b},

$f (A)$ 表示集合 $B$ 中元素的个数，则 $f (A)$ 的最大值与最小值之和为 .

第 12 题

抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的参数 $a, b$ 满足 $8 a^{2} + 4 ab = b^{3}$ 。当 $a, b$ 变动时，抛物线的顶点 $(s, t)$ 的轨迹方程为 .

第 13 题

函数 $f (x)$ 的定义域为实数集 $R$ ，已知 $x > 0$ 时 $f (x) > 0$ ，并且对任意 $m, n \in R$ ，都有 $f (m + n) = f (m) + f (n)$ 。

(1) 讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性以及单调性；

(2) 设集合

A B C = {(x, y) ∣ f (3 x^{2}) + f (4 y^{2}) \leq 24}, = {(x, y) ∣ f (x) - f (a y) + f (3) = 0}, = {(x, y) ∣ f (x) = \frac{1}{2} f (y^{2}) + f (a)},

且 $f (1) = 2$ 。若 $A \cap B \neq = \emptyset$ 且 $A \cap C \neq = \emptyset$ ，试求实数 $a$ 的取值范围。

第 14 题

如图，锐角 $△ A BC$ 外心为 $O$ 。直线 $BO$ 和 $CO$ 分别与边 $A C, A B$ 交于 $B^{'}, C^{'}$ 。直线 $B^{'} C^{'}$ 交 $△ A BC$ 外接圆于点 $P, Q$ 。若 $A P = A Q$ ，证明： $△ A BC$ 是等腰三角形。

第 15 题

已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，对于任意的 $p, q \in N^{*}$ ，有 $a_{p + q} = a_{p} + a_{q}$ 。

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 数列 ${b_{n}}$ 满足

a_{n} = \frac{b _{1}}{2 ^{1} + 1} - \frac{b _{2}}{2 ^{2} + 1} + \frac{b _{3}}{2 ^{3} + 1} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{b _{n}}{2 ^{n} + 1} (n \in N^{*}),

求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3) 设 $C_{n} = 3^{n} + λ b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），是否存在实数 $λ$ ，使当 $n \in N^{*}$ 时 $C_{n + 1} > C_{n}$ 恒成立？若存在，求实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

第 16 题

已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点。连接 $A$ 与抛物线顶点 $O$ 的直线交准线于 $B^{'}$ ，连接 $B$ 与 $O$ 的直线交准线于 $A^{'}$ ，并且 $A A^{'}$ 与 $B B^{'}$ 都平行于 $x$ 轴。

(1) 证明：直线 $l$ 过定点；

(2) 求四边形 $A B B^{'} A^{'}$ 的面积的最小值。