2014 年辽宁预赛 · 第 11 题

解答

共有 $100\cdot 99=9900$ 个不同元素的有序数对，所以 $f(A)\le 9900$。取一百个不同素数组成 $A$，若两个非单位比例相同，唯一分解迫分子和分母分别相同，因此九千九百个比例互异，最大值为九千九百。 再设 $a_0$ 为 $A$ 的最小元素。其他九十九个元素给出互异且大于一的比例 $a/a_0$，其逆数又给出九十九个互异且小于一的比例。因此 $f(A)\ge 198$。取 $A=\{2^j:0\le j\le 99\}$，比例恰为 $2^k$，$k=\pm 1,\dots ,\pm 99$，正好一百九十八个，达到下界。所以两极值之和为 $\boxed{9900+198=10098}$。