培玉 · 一试

2016 年湖南预赛

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按原题序浏览；已整理 15/16 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设集合 $S = {A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}}$ ，在 $S$ 上定义运算 `` $\oplus$ ''：

A_{i} \oplus A_{j} = A_{k}, k 为 i + j 被 4 除的余数, i, j = 0, 1, 2, 3.

满足关系 $(x \oplus x) \oplus A_{2} = A_{0}$ 的 $x \in S$ 的个数为（　　）。

(A)
$1$
(B)
$2$
(C)
$3$
(D)
$4$

第 2 题

一个骰子由 $1$ -- $6$ 六个数字组成。根据下图所示三种状态显示的数字，可推得 ``?'' 的数字是（　　）。

(A)
$6$
(B)
$3$
(C)
$1$
(D)
$2$

第 3 题

设函数 $f (x) = 2 x - cos x$ ， $a_{n}$ 是公差为 $\frac{π}{8}$ 的等差数列，且

f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{5}) = 5 π .

则 $[f (a_{3})]^{2} - a_{1} a_{5} =$ （　　）。

(A)
$0$
(B)
$\frac{1}{16} π^{2}$
(C)
$\frac{1}{8} π^{2}$
(D)
$\frac{13}{16} π^{2}$

第 4 题

本题整理中，不计分。

第 5 题

给定平面向量 $(1, 1)$ ，那么平面向量

(\frac{1 - 3}{2}, \frac{1 + 3}{2})

是将向量 $(1, 1)$ 经过变换得到的，答案是（　　）。

(A)
顺时针旋转 $6 0^{\circ}$ 所得
(B)
顺时针旋转 $12 0^{\circ}$ 所得
(C)
逆时针旋转 $6 0^{\circ}$ 所得
(D)
逆时针旋转 $12 0^{\circ}$ 所得

第 6 题

在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有 $3$ 名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了 $50$ 场。那么上述 $3$ 名选手之间比赛的场数是（　　）。

(A)
$0$
(B)
$1$
(C)
$2$
(D)
$3$

第 7 题

规定：对于 $x \in R$ ，当且仅当 $n \leq x < n + 1$ （ $n \in N^{*}$ ）时， $[x] = n$ 。则不等式

4 [x]^{2} - 36 [x] + 45 \leq 0

的解集是。

第 8 题

在三棱锥 $S$ -- $A BC$ 中， $S A = 4$ ， $SB \geq 7$ ， $SC \geq 9$ ， $A B = 5$ ， $BC \leq 6$ ， $A C \leq 8$ ，则三棱锥的体积的最大值为。

第 9 题

一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字 $0$ ，两个面上标以数字 $1$ ，一个面上标以数字 $2$ 。将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之和的数学期望是。

第 10 题

观察下列等式：

C_{5}^{1} + C_{5}^{5} C_{9}^{1} + C_{9}^{5} + C_{9}^{9} C_{13}^{1} + C_{13}^{5} + C_{13}^{9} + C_{13}^{13} C_{17}^{1} + C_{17}^{5} + C_{17}^{9} + C_{17}^{13} + C_{17}^{17} = 2^{3} - 2, = 2^{7} + 2^{3}, = 2^{11} - 2^{5}, = 2^{15} + 2^{7} .

由以上等式推测出一般的结论：对于 $n \in N^{*}$ ，

C_{4 n + 1}^{1} + C_{4 n + 1}^{5} + C_{4 n + 1}^{9} + \dots + C_{4 n + 1}^{4 n + 1} = .

第 11 题

方程

16 sin (π x) cos (π x) = 16 x + \frac{1}{x}

的解的集合是。

第 12 题

当一个非空数集 $F$ 满足条件“如果 $a, b \in F$ ，则 $a + b$ 、 $a - b$ 、 $a \cdot b \in F$ ，且当 $b \neq = 0$ 时， $\frac{a}{b} \in F$ ”时，我们就称 $F$ 是一个数域。以下四个关于数域的命题：

1）
$0$ 是任何数域的元素；
2）
若数域 $F$ 有非零元素，则 $2016 \in F$ ；
3）
集合 $P = {x ∣ x = 3 k, k \in Z}$ 是一个数域；
4）
有理数集是一个数域。

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）。

第 13 题

已知椭圆 $C$ ：

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

经过点 $(0, 3)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ 。直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ ，交椭圆于 $A, B$ 两点；点 $A, F, B$ 在直线 $x = 4$ 的射影依次为 $D, K, E$ 。

(1)
求椭圆 $C$ 的方程；
(2)
连接 $A E, B D$ ，试探求当直线 $l$ 的倾斜角变化时，直线 $A E$ 与 $B D$ 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则说明理由。

第 14 题

已知四边形 $A BC D$ 是正方形， $P$ 是边 $C D$ 上一点（点 $P$ 不与顶点重合），延长 $A P$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $Q$ 。设 $△ A BQ$ 、 $△ P A D$ 、 $△ PCQ$ 的内切圆半径分别是 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 。

(1)
证明： $r_{1}^{2} \geq 4 r_{2} r_{3}$ ，并指出点 $P$ 在什么位置时等号成立；
(2)
若 $A B = 1$ ，试求证：
$3 - 22 < r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2} < \frac{1}{2} .$

第 15 题

已知函数

f (x) = x ln x - \frac{1}{2} m x^{2} - x, m \in R .

(1)
当 $m = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的所有零点；
(2)
若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ 。

第 16 题

已知互不相同的正实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 满足不等式

(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) (\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} + \frac{1}{x _{4}}) < 17.

求证：从 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 中任取 $3$ 个数作边长，共可构成 $4$ 个不同的三角形。