5.1 任意角和弧度制

D。\(45\) 分钟是 \(30\) 分钟的 \(1.5\) 倍，转了一圈半：\(360^\circ+180^\circ=540^\circ\)。

看上面的螺旋轨迹：转 \(540^\circ\) 时指针停的位置，和只转半圈（\(180^\circ\)）时一样都在正左方；可它实际绕了一圈半，多出来的那一整圈（\(360^\circ\)）不能丢。

初中的角都在 \(0^\circ\) 到 \(360^\circ\) 之间，装不下 \(540^\circ\)。这一节把角看成射线转出来的：说清往哪边转、转了多少、停在哪。再换一把用半径量角的尺子——弧度，用它算弧长和扇形面积。

B。1 小时转一整圈 \(360^\circ\)，加 15 分钟的 \(90^\circ\)，共转 \(450^\circ\)；分针是顺时针旋转，形成负角 \(-450^\circ\)。选 A 的同学忘了方向；选 C、D 的同学只看指针最后停的位置，丢掉了整圈！

C。\(1290^\circ - 3\times 360^\circ = 1290^\circ - 1080^\circ = 210^\circ\)，介于 \(180^\circ\) 与 \(270^\circ\) 之间，落在第三象限。

A。\(210\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}\)。比 \(\pi\)（\(180^\circ\)）稍大，符合直觉。

A。\(45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\)，\(l = 4\times\dfrac{\pi}{4} = \pi\)。选 B 的同学直接代入角度 \(45\)；选 D 忘了乘以半径！

A。\(\dfrac{5\pi}{12}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\times180}{12}=75\)。也可以记 \(\dfrac{\pi}{12}=15^\circ\)，再乘 \(5\)。选 D 的同学只算了 \(\dfrac{\pi}{12}\)，忘了乘 \(5\)。

A。已知弧长，用 \(S=\dfrac12lr=\dfrac12\times3\times2=3\)。也可以先求角：\(|\alpha|=\dfrac lr=\dfrac32\)，\(S=\dfrac12\times2^2\times\dfrac32=3\)。选 B 的同学忘了 \(\dfrac12\)。

答案 C。\(390^\circ=30^\circ+1\times360^\circ\)，终边重合；但一个转了一圈多，一个没转满一圈，是两个不同的角。

A 错：\(-330^\circ\)、\(390^\circ\) 都是第一象限角，都不是锐角。B 错：终边相同的角相差 \(360^\circ\) 的整数倍，只有 \(k=0\) 时才相等。D 错：\(-30^\circ\)、\(0^\circ\) 都小于 \(90^\circ\)，都不是锐角。

答案 D。\(-270^\circ=90^\circ-360^\circ\)，和 \(90^\circ\) 终边相同，终边落在 \(y\) 轴的正半轴上。

有的同学想“顺时针转过了第四、第三象限，停在第二象限边上”，于是选 B 或 C。可象限角只看终边停在哪；终边在坐标轴上，就不属于任何象限。在“动手”的图里把角拖到 \(-270^\circ\) 看看。

答案 D。先化弧度：\(|-60^\circ|=\dfrac{\pi}{3}\)，再算 \(S=\dfrac12\times2^2\times\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\)。

A、B 是把 \(60\) 直接当弧度代进去了——\(60\) 弧度差不多转了 9 圈半，跟 \(60^\circ\) 差得远。A、C 还把负号带进了面积。角的正负只说明转的方向，扇形的大小看 \(|\alpha|\)。

B。设半径 \(r\)，弧长 \(l=8-2r\)。面积 \(S=\dfrac12lr=\dfrac12(8-2r)r=r(4-r)\)。

\(r\) 和 \(4-r\) 的和是定值 \(4\)，用基本不等式（2.2）：\(r(4-r)\le\left(\dfrac{r+4-r}{2}\right)^2=4\)，等号在 \(r=4-r\)，即 \(r=2\) 时取到。这时 \(l=4\)，圆心角 \(|\alpha|=\dfrac lr=2\)。

选 D 的同学以为半圆最大；半圆时 \(r(\pi+2)=8\)，\(r\approx1.56\)，面积约 \(3.8\)，比 \(4\) 小。