培玉 · 一试

2023 年浙江预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 15/15 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

已知集合

S = {x \in R ∣ x^{2} + 2 x + a = 0},

若 $- 1 \in S$ ，则实数 $a =$ 。

第 2 题

函数

f (x) = \frac{( sin x + 1 ) ( cos x + 1 )}{sin x cos x}

在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的最小值为。

第 3 题

已知四面体 $S - A BC$ ， $A_{1}$ 为 $△ SBC$ 的重心， $G$ 在线段 $A A_{1}$ 上，满足

\frac{∣ A G ∣}{∣ G A _{1} ∣} = 3.

连接 $SG$ ，交 $△ A BC$ 所在的平面于点 $M$ ，则

\frac{∣ A _{1} M ∣}{∣ A S ∣} = .

第 4 题

已知关于 $x$ 的方程

x^{2} + 12 - 3 x^{2} + x^{2} + 2 x - 12 - 3 x^{2} = a

存在四个不同的实根，则实数 $a$ 的取值范围为。

第 5 题

设函数 $f (z)$ （ $z$ 为复数）满足

f (f (z)) = (z \overline{z} - z - \overline{z})^{2} .

若 $f (1) = 0$ ，则 $∣ f (i) - 1∣ =$ 。

第 6 题

已知 $m, n, k$ 为正整数。若存在正整数对 $(a, b)$ 满足

(1 + a) n^{2} - 4 (m + a) n + 4 m^{2} + 4 a + b (k - 1)^{2} < 3,

则 $m + n + k$ 可能值的个数为。

第 7 题

已知 $a, b, c \in C$ ，且

a + b + c = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3, a^{3} + b^{3} + c^{3} = 6.

则

(a - 1)^{2023} + (b - 1)^{2023} + (c - 1)^{2023} = .

第 8 题

数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = \frac{1}{3}, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 - ( 2 n + 1 ) ( 2 n - 5 ) a _{n}}, n = 1, 2, \dots .

则

i = 1 \sum 2023 a_{i} = .

第 9 题

$a, b$ 为两个垂直的平面向量，且

∣ a ∣ = 2∣ b ∣ = 10.

当 $0 \leq t \leq 1$ 时，记向量

t a + (1 - t) b

与向量

(t - \frac{1}{5}) a + (1 - t) b

的最大夹角为 $θ$ ，则 $cos θ =$ 。

第 10 题

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 是数字 $1, 2, 3, 4, 5$ 的排列。若不存在 $1 \leq i < j < k \leq 5$ 使 $a_{i} < a_{j} < a_{k}$ ，则所有这样的排列有种。

第 11 题

设 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 满足

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 2023.

$M$ 为

\frac{a _{1}}{2023 + a _{1}}, \frac{a _{2}}{2023 + a _{1} + a _{2}}, \dots, \frac{a _{n}}{2023 + a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}

中的最大值，则 $M$ 的最小可能值为。

第 12 题

三个互不相等的复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足

4 z_{1}^{2} + 5 z_{2}^{2} + 5 z_{3}^{2} = 4 z_{1} z_{2} + 6 z_{2} z_{3} + 4 z_{3} z_{1} .

复平面上以 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为顶点的三角形三边长度从小到大依次为 $a, b, c$ ，则

a : b : c = .

第 13 题

已知椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的上顶点 $A$ 与左顶点 $B$ 的距离为 $41$ ，离心率为 $3/5$ ， $P (t, 0)$ （ $- 4 \leq t \leq - 1$ ）为 $x$ 轴上一点。

（1）求椭圆方程；

（2）连接 $A P$ 交椭圆于点 $C$ ，过 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，交椭圆于另一点 $D$ ，求 $S_{△ A B D}$ 的取值范围。

第 14 题

设整数 $n \geq 2$ 。对于 ${1, 2, \dots, n}$ 的任一排列

σ = (σ (1), σ (2), \dots, σ (n)),

记

S = {σ ∣ σ (i) \neq = i, i = 1, 2, \dots, n} .

求

σ \in S min i = 1 \sum n ∣ σ (i) - i ∣

的值，并计算取得最小值时排列 $σ$ 的数目。

第 15 题

设 $f (x)$ 为整系数多项式，令

P = {p ∣ p 为素数且对某个 j \in N_{+}, p ∣ f (202 3^{j})} .

已知 $P$ 为有限集，求 $f (x)$ 。