培玉 · 一试

2025 年福建预赛

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第 1 题

若 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $z$ 的方程

z^{2} + 2 a z + a + 3 = 0

的两个虚数根，且 $∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣ = 4$ ，则实数 $a$ 的值为。

第 2 题

设

f (x) = x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} .

若 $f (n) = 5 n$ ，其中 $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ，则 $f (- 1) =$ 。

第 3 题

在正三棱锥 $P - A BC$ 中， $A B = BC = C A = 3$ ， $E$ 为侧棱 $PC$ 的中点。若二面角 $E - A B - C$ 的大小为 $3 0^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A BC$ 的外接球的表面积为。

第 4 题

若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{20} = 25$ ，且

a_{n + 1} + a_{n} = n^{2} (n \in N^{*}),

则 $a_{2025}$ 的末两位数字是。

第 5 题

已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点。点 $A$ 在第一象限且在双曲线的渐近线上， $B$ 为线段 $A F_{1}$ 与双曲线的交点，且 $BO ∥ A F_{2}$ 。若 $∣ A F_{1} ∣ = ∣ F_{1} F_{2} ∣$ ，则双曲线的离心率为。

第 6 题

某棋手与一款机器人进行围棋挑战赛。棋手初始分数为 $2$ 分；每局胜加 $1$ 分，平局不得分，负减 $1$ 分。当总分为 $0$ 分时挑战失败、比赛终止；当总分为 $3$ 分时挑战成功、比赛终止；否则继续比赛。每局胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ ，且各局相互独立。则恰好在第 $6$ 局比赛结束后比赛终止的概率为。

第 7 题

已知 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为方程

123 x^{3} - 247 x^{2} + 2 = 0

的 $3$ 个不同实根，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{2} (x_{3}^{2} - x_{1}^{2}) =$ 。

第 8 题

在三角形 $A OB$ 中， $∠ A OB = 4 5^{\circ}$ ， $A B = 2$ 。若 $E$ 为线段 $A B$ 的中点， $F$ 为线段 $OB$ 的靠近点 $O$ 的三等分点，则线段 $EF$ 长度的最大值为。

第 9 题

对正整数 $n$ ，记 $S (n)$ 为 $n$ 的各位数码之和，如 $S (3) = 3$ ， $S (23) = 2 + 3 = 5$ 。则满足

n + S (n) = 2025

的所有正整数 $n$ 的和是。

第 10 题

若不等式

x + x y + 3 x yz \leq k (x + y + z)

对任意正实数 $x, y, z$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值为。

第 11 题

已知 $F$ 为抛物线

C : y^{2} = 2 p x (0 < p < 4)

的焦点，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上，且点 $P$ 的纵坐标为 $2$ 。以线段 $PF$ 为直径的圆与直线 $x = \frac{5}{2}$ 相切。

(1)
求抛物线 $C$ 的方程；
(2)
设直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，作 $P D ⊥ l$ 于点 $D$ 。若直线 $P A, PB$ 的斜率之积为 $1$ ，则是否存在定点 $R$ ，使得 $D R$ 为定值？若存在，求出点 $R$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

第 12 题

已知函数

f (x) = x ln x - x^{2} + x, g (x) = a e^{x} .

(1)
设 $m$ 为 $f (x)$ 的极小值，求证： $m > - \frac{1}{4}$ ；
(2)
若 $g (x) \leq f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

第 13 题

如图，凸四边形 $A BC D$ 内接于圆 $w$ ，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $K$ 。在对角线 $B D$ 上取点 $L$ ，使得 $∠ D A L = ∠ C A B$ 。过点 $C$ 作 $CM ∥ D B$ ，与 $K L$ 相交于点 $M$ 。求证：直线 $BM$ 是圆 $w$ 的切线。

第 14 题

求所有满足“

\frac{2 ^{p - 1} - 1}{p}

是完全平方数”的素数 $p$ 。

第 15 题

用红、白两种颜色对一个 $99 \times 99$ 的方格表中的每一个单位小方格染色，每个单位小方格只染一种颜色。在染色后的方格表中，考虑由三个单位小方格组成的有序方格组 $(C_{1}, C_{2}, C_{3})$ 。设 $S$ 为同时满足下列条件的有序方格组个数：

(1)
$C_{1}, C_{2}$ 在同一行， $C_{2}, C_{3}$ 在同一列；
(2)
$C_{1}, C_{3}$ 为白色， $C_{2}$ 为红色。

求 $S$ 的最大值。