2012 年湖南预赛

若实数 $x$ 满足：对任意正数 $a$，均有 $x^2<1+a$，则 $x$ 的最小值是（ ）。

1. (A)

   $0$

2. (B)

   $1$

3. (C)

   $-1$

4. (D)

   不存在

在四个函数 $y=\sin |x|$、$y=\cos |x|$、$y=|\tan x|$、$y=-\ln |\sin x|$ 中，以 $\pi$ 为周期、在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减且为偶函数的是（ ）。

1. (A)

   $y=\sin |x|$

2. (B)

   $y=\cos |x|$

3. (C)

   $y=|\tan x|$

4. (D)

   $y=-\ln |\sin x|$

数列 $\{a_n\}$ 共有 $11$ 项，$a_1=0,a_{11}=4$，且 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$，$k=1,2,\dots ,10$。满足这些条件的不同数列的个数为（ ）。

1. (A)

   $100$

2. (B)

   $120$

3. (C)

   $140$

4. (D)

   $160$

设实数 $r>1$。如果复平面上的动点 $z$ 满足 $|z|=r$，则动点 $\omega =z+\frac{1}{z}$ 的轨迹是（ ）。

1. (A)

   焦距为 $4$ 的椭圆

2. (B)

   焦距为 $\frac{4}{r}$ 的椭圆

3. (C)

   焦距为 $2$ 的椭圆

4. (D)

   焦距为 $\frac{2}{r}$ 的椭圆

如果直线 $ax-by+1=0$ 平分圆 $C:x^2+y^2+2x-4y+1=0$ 的周长，那么 $ab$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $\left(-\infty ,\frac{1}{4}\right]$

2. (B)

   $\left(-\infty ,\frac{1}{8}\right]$

3. (C)

   $\left(0,\frac{1}{4}\right]$

4. (D)

   $\left(0,\frac{1}{8}\right]$

半径为 $R$ 的球内部装有 $4$ 个有相同半径 $r$ 的小球，则小球半径 $r$ 的可能的最大值为（ ）。

1. (A)

   $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}R$

2. (B)

   $\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}R$

3. (C)

   $\frac{1}{1+\sqrt{3}}R$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}R$

已知集合

且 $A\subseteq B$，则实数 $a$ 的取值范围是。

方程

的解为。

若对任意实数 $x$，都有

则实数 $a$ 的取值范围是。（其中 $e$ 为无理数，$e=2.71828\dots$）

若向量 $\vec{a}+3\vec{b}$ 垂直于向量 $7\vec{a}-5\vec{b}$，并且向量 $\vec{a}-4\vec{b}$ 垂直于向量 $7\vec{a}-2\vec{b}$，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为。

边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 沿 $BD$ 折成 $60^{\circ }$ 二面角，则 $BC$ 中点与点 $A$ 的距离为。

已知 $p>0$，过抛物线 $y^2=2px$ 焦点的直线斜率为 $k$，且交抛物线于点 $A,B$，记 $f(k)=|AB|$。

1. (1)

   试求 $f(k)$ 的解析式；

2. (2)

   是否存在抛物线上的点 $C$，使得 $△ABC$ 为等腰直角三角形且 $C$ 为直角顶点？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

如图所示，在某工程项目中为了测量圆弧的半径 $R$，用三个完全相同的小球放在圆弧上，使圆弧的每个接触点都相切。小球的高度差为 $h$，小圆的半径为 $r$，试将 $R$ 表示为关于 $h$ 和 $r$ 的关系式，并求出当 $r=100,h=40$ 时，$R$ 的取值。

已知函数 $f(x)=e^x-x$（其中 $e$ 为无理数，$e=2.71828\dots$）。

1. (1)

   若函数 $g(x)=f(x)-a{x}^2-1$ 的导函数 $g^{\prime }(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上是增函数，试求实数 $a$ 的最大值；

2. (2)

   求证：

   $$f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)+\cdots +f\left(\frac{1}{n+1}\right)>n\left[1+\frac{1}{4(n+2)}\right],n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

设 $\{a_n\}$ 是正项递增的等差数列，求证：

1. (1)

   对任意的 $k,l\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，当 $l>k\ge 2$ 时，$\frac{a_{l+1}}{a_{k+1}}<\frac{a_l}{a_k}<\frac{a_{l-1}}{a_{k-1}}$；

2. (2)

   对任意的 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，当 $k\ge 2$ 时，

   $$\sqrt[k]{\frac{a_{2013k+1}}{a_{k+1}}}<\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}\cdot \frac{a_{2k+2}}{a_{2k+1}}\cdot \frac{a_{3k+2}}{a_{3k+1}}\cdots \frac{a_{2012k+2}}{a_{2012k+1}}<\sqrt[k]{\frac{a_{2012k+2}}{a_2}}.$$