2016 年辽宁预赛

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $|z^3+3z+2i|$ 的最大值为（　　）．（$i$ 为虚数单位）

1. (A)

   $4\sqrt{2}$

2. (B)

   $3\sqrt{3}$

3. (C)

   $2\sqrt{5}$

4. (D)

   $4\sqrt{3}$

若 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边 $a,b,c$ 成等比数列，则

的取值范围是（　　）．

1. (A)

   $(0,+\infty )$

2. (B)

   $\left(0,\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$

3. (C)

   $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$

4. (D)

   $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty \right)$

若函数

则 $f(x,y)$ 的最小值是（　　）．

1. (A)

   $3+2\sqrt{3}$

2. (B)

   $2\sqrt{3}+2$

3. (C)

   $6$

4. (D)

   $8$

将 $2,3,4,6,8,9,12,15$ 共 $8$ 个数排成一行，使得任意相邻两个数的最大公约数均大于 $1$，则所有可能的排法共有（　　）种．

1. (A)

   $720$

2. (B)

   $1014$

3. (C)

   $576$

4. (D)

   $1296$

已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $1$，在对角线 $A_{1}D$ 上取点 $M$，在 $C{D}_1$ 上取点 $N$，使得线段 $MN$ 平行于对角面 $A_{1}AC{C}_1$，则 $|MN|$ 的最小值为（　　）．

1. (A)

   $\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. (B)

   $1$

3. (C)

   $\sqrt{2}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{2}}{2}$

设集合

其中符号 $\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则 $A\cap B=$．

在 $(2+\sqrt{x}{)}^{2n+1}$ 的展开式中，$x$ 的幂指数是整数的各项系数之和为．

与正四面体 $4$ 个顶点距离之比为 $1:1:1:\sqrt{2}$ 的平面共有个．

如图所示，在 $△ABC$ 中，$\cos \frac{C}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且

则过点 $C$、以 $A,H$ 为两焦点的双曲线的离心率为．

已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $100$ 项，满足 $a_1=0$，$a_{100}=475$，且

则符合条件的不同数列有个．

已知 $\lg a+\lg b+\lg c=0$，证明：

已知数列 $\{a_n\}$ 满足

其中 $k$ 为正整数．如果对于所有的 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，都有 $a_n<1$，求 $k$ 的取值范围．

如图，$△ABC$ 为锐角三角形，外接圆圆心为 $O$，半径为 $R$．$AO$ 的延长线交 $△BOC$ 的外接圆于点 $A^{\prime }$，$BO$ 的延长线交 $△AOC$ 的外接圆于点 $B^{\prime }$，$CO$ 的延长线交 $△AOB$ 的外接圆于点 $C^{\prime }$．求证：

设 $A,B,C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $△ABC$ 外接圆的半径，求 $R$ 的取值范围．