培玉 · 一试

2025 年浙江预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设 $x \in R$ ，集合

{x, 2 x, x^{2}} = {x - 4, x^{2} - 12 x + 40, 8 x},

则 $x =$ 。

第 2 题

设 $n$ 为正整数，定义 $P_{n} (cos x) = cos n x$ ，则

P_{2025} (cos 5^{\circ}) + 2 cos 18 5^{\circ} P_{2024} (cos 5^{\circ}) + P_{2023} (sin 8 5^{\circ}) = .

第 3 题

若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0$ ， $S_{7} + a_{4} = 0$ ，其中 $S_{7}$ 为数列前 $7$ 项的和，则使得 $2 S_{n} \geq a_{n}$ 的 $n$ 的最大值为。

第 4 题

如图，在平面直角坐标系上有一动点 $P$ ，每次平行坐标轴移动一个单位。设动点 $P$ 从 $P_{1} (0, 1)$ 出发，向左移动一个单位到达 $P_{2} (- 1, 1)$ ，向下移动一个单位到达 $P_{3} (- 1, 0)$ ，再向下移动一个单位到达 $P_{4} (- 1, - 1)$ ，接着向右移动一个单位到达 $P_{5} (0, - 1)$ ，再向右移动一个单位到达 $P_{6} (1, - 1)$ ，又向上移动一个单位到达 $P_{7} (1, 0)$ ，依次进行得到一条逆时针螺旋线。则 $P_{1000}$ 的坐标为。

第 5 题

设非零向量 $a, b$ 满足对任意 $x, y \in R$ ，都有

∣3 x a + 4 y b ∣ \geq 2∣ a ∣ x .

则 $a, b$ 夹角的最小值为。

第 6 题

已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ， $x \neq = 1$ ，则

\frac{max { 2 x - 3 , 3 y - 1 }}{min { x - 1 , \frac{3}{2} y }}

的最小值为。

第 7 题

设 $x, y, z \in R$ ，且

5 x^{2} + 6 y^{2} + 6 z^{2} - 8 yz \leq 1,

则 $x + y + z$ 的最大值为。

第 8 题

设 $P - A BC D$ 为四棱锥，面 $P A B ⊥$ 底面 $A BC D$ ，且 $P A = PB = 5$ ， $A B = BC = A D = 2$ ，则四棱锥 $P - A BC D$ 体积的最大值为。

第 9 题

动点 $M$ 从原点出发，每次沿数轴正方向移动一个单位或两个单位长度。现每次用掷一枚非均匀硬币的方式决定正面和反面：若掷得正面， $M$ 移动两个单位；若掷得反面， $M$ 移动一个单位。设掷得正面的概率为 $p$ ，则 $M$ 恰好移动到 $2025$ 点的概率为。

第 10 题

记组合数 $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ ，数列 ${a_{k}}$ 满足： $a_{k}$ 为 $(k 2025)$ 除以 $3$ 的余数， $a_{k} \in {0, 1, 2}$ ， $k = 0, 1, 2, \dots, 2025$ 。则数列 ${a_{k}}$ 中数字为 $0, 1, 2$ 的数目比为。

第 11 题

如图，在 $k \times k$ 的平行四边形中， $A, B$ 为一对角线的两个顶点。动点从 $A$ 出发，沿图中箭头方向（向右或往上）移动，每次移动一步（一步是图中最小平行四边形的两条邻边之一，或是最小平行四边形的一条对角线），到达最小平行四边形的一个顶点。则动点从 $A$ 移动到 $B$ 有种不同的移动方法。

题图已按步型重绘，仅作示意；未核对原图。

第 12 题

设 $A, B$ 为集合，满足 $∣ A ∣ = 3$ 且 $A \cup B = {1, 2, \dots, 9}$ 。若 $A$ 中所有元素的乘积等于 $B$ 中所有元素的和，则这样的 $A$ 有个。

第 13 题

已知抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P (m, n) (m \neq = 0)$ 是 $E$ 的动点。过 $P$ 点作 $E$ 的切线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

交于 $A, B$ 两个不同的点，记 $A B$ 的中点为 $D$ 。设直线 $O D$ （ $O$ 为原点）与直线 $y = - \frac{p b ^{2}}{a ^{2}}$ 交于 $Q$ 。

(1)
证明直线 $y = - \frac{p b ^{2}}{a ^{2}}$ 与直线 $PQ$ 垂直；
(2)
若 $l$ 与 $FQ$ 交于 $G$ ，且 $a = 2 b$ ，证明
$1 < \frac{S _{△ FPG}}{S _{△ PGQ}} < 2.$

第 14 题

将平面用水平和竖直的直线分成由 $1 \times 1$ 正方形构成的网格。设 $P$ 是由 $2025$ 个小正方形构成的连通图形（连通是指从其中任何一格可以经过若干有公共边的方格走到另一格），记 $∣ \partial P ∣$ 为边界折线的长度。求 $∣ \partial P ∣$ 的最大可能值和最小可能值。

第 15 题

设复系数多项式

f (z) = z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}

的根为 $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ ，且对某个正整数 $k \leq n$ 有

∣ z_{1} ∣ \geq ∣ z_{2} ∣ \geq \dots \geq ∣ z_{k} ∣ > 1 \geq ∣ z_{k + 1} ∣ \geq \dots \geq ∣ z_{n} ∣.

证明：存在实数 $x \in [- 1, 1]$ ，使得

∣ f (x) ∣ \geq \frac{1}{2 ^{n - 1}} i = 1 \prod k ∣ z_{i} ∣.