2023 年吉林预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知等腰梯形 $A BC D$ 中， $A D ∥ BC$ ， $BC = 2 A D = 4$ ， $∠ A BC = 6 0^{\circ}$ ， $CE = \frac{1}{3} C D$ ，则 $C A \cdot BE =$ （）

A. $- \frac{21}{2}$ B. $- 10$ C. $- \frac{19}{2}$ D. $- 9$

第 2 题

边长为 $a$ 的正方形 $A BC D$ 和正方形 $A BEF$ 所在的两个半平面所成的二面角为 $12 0^{\circ}$ ， $M, N$ 分别是对角线 $A C$ 和 $BF$ 上的动点，且 $A M = FN$ 。则 $MN$ 的取值范围是（）

A. $(\frac{2}{2} a, a]$ B. $(\frac{3}{2} a, 2 a)$ C. $[\frac{2}{2} a, 2 a)$ D. $[\frac{3}{2} a, a]$

第 3 题

下列关于方程

4 x^{2} + 2 x + 1 - 4 x^{2} + 14 x + 5 = 6 x + 2

的根的论断中，正确的是（）

A. 方程没有负实数根 B. 方程没有有理根 C. 方程有两个实数根 D. 方程只有一个实数根

第 4 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{7} = \frac{16}{3}$ ，且

a_{n} = \frac{3 a _{n - 1} + 4}{7 - a _{n - 1}} (n = 2, 3, \dots),

则（）

A. 不存在 $m \in N_{+}$ ，使得当 $n \geq m$ 时， $a_{n} < 2$

B. 不存在 $m \in N_{+}$ ，使得当 $n \geq m$ 时， $a_{n} > - \frac{4}{3}$

C. 存在 $m \in N_{+}$ ，使得当 $n \geq m$ 时， $a_{n} > \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$

D. 存在 $m \in N_{+}$ ，使得当 $n \geq m$ 时， $a_{n} < \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$

第 5 题

设函数

f (x) = x^{2} - x + 2 x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 16,

则 $f (x)$ 的最小值为（）

A. $4$ B. $\frac{7}{2}$ C. $3$ D. $\frac{5}{2}$

第 6 题

已知函数 $f (x) = 2 sin x - sin 2 x + 3$ ，则下列说法错误的是（）

A. 在 $[- π, π]$ 内有两个零点

B. $f (x)$ 的图像关于点 $(π, 3)$ 成对称中心

C. $f (x)$ 的最小值为 $- 3$

D. $f (x)$ 的最大值为 $\frac{5 3}{2}$

第 7 题

已知如下的两组数据：

第一组： $20, 21, 22, 25, 24, 23$ ；

第二组： $22, 24, 23, 25, a, 26$ 。

若两组数据的方差相等，则实数 $a$ 的值为。

第 8 题

已知集合

M = {x ∣ x^{2} - 9 > 0}, N = {x \in Z ∣ x^{2} - 8 x + a < 0} .

若集合 $M \cap N$ 的子集个数为 $4$ ，则实数 $a$ 的取值范围是。

第 9 题

本题整理中，不计分。

第 10 题

前 $100$ 个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为。

第 11 题

若在 $1, 2, 3, \dots, 18$ 的任意一个排列中，总能找到连续 $6$ 个数之和不小于 $m$ ，则实数 $m$ 的最大值为。

第 12 题

若不等式

ab + b^{2} + c^{2} \geq λ (a + b) c

对任意满足 $b + c \geq a$ 的正实数 $a, b, c$ 均成立，则实数 $λ$ 的最大值为。

第 13 题

已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + A x^{2} - 1$ 。若对任意 $x \geq 1$ ，都有 $f (x) \geq A$ 成立，求实数 $A$ 的取值范围。

第 14 题

已知椭圆

M : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

经过点 $P (- 2, 0)$ ，且其焦距为 $23$ 。

（1）求椭圆 $M$ 的方程；

（2）过点 $Q (- 2, - 1)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $M$ 的下半部分相交于两个不同点 $A, B$ ，连接 $P A, PB$ 分别交直线 $y = - 1$ 于 $C, D$ 两点。求证： $∣ QC ∣ + ∣ Q D ∣ - ∣ QC ∣ \cdot ∣ Q D ∣$ 为定值。

第 15 题

已知四边形 $A BC D$ 内接于圆 $O$ ，圆 $O$ 在 $A, C$ 处的两条切线相交于点 $P$ 。若 $P$ 不在 $B D$ 的延长线上，且 $P A^{2} = P D \cdot PB$ ，求证：对角线 $B D$ 平分对角线 $A C$ 。

第 16 题

设 $n$ 为给定的正整数，

S_{n} \subseteq {α ∣ α = (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}), p_{k} \in {0, 1}, k = 1, 2, \dots, n} .

对于集合 $S_{n}$ 中的任意元素 $β = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 和 $γ = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，满足：若 $β = γ$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ 为奇数；若 $β \neq = γ$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ 为偶数。

（1）当 $n = 5$ 时，求集合 $S_{5}$ 中元素个数的最大值；

（2）当 $n \geq 6$ 时，求集合 $S_{n}$ 中元素个数的最大值。