易混 2024 年山东预赛 · P006574
两题都出现方差，但已知信息支持的处理不同。逐个数据受同一段区间限制时，可以用端点乘积非负逐项控制二阶矩；只知道两组数据方差相等时，应比较离差平方和并解参数，不能据此假设数据相同或采用端点构型。
表面上的统计量相同，不代表可使用同一组取等条件。
培玉 · 一试
2023 年吉林预赛
F1填空题概率
已知如下的两组数据：
第一组：；
第二组：。
若两组数据的方差相等，则实数 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两组样本数相同，直接比较“平方和减去总和平方除以个数”。
解答
第一组的总和为 、平方和为 ，故六倍方差相应的离差平方和为
第二组固定五数的总和为 、平方和为 。方差相等等价于
化简得
因此
复核
两根分别反代后，第二组的离差平方和均为 ；总体方差或样本方差的共同分母不影响结论。
方法总结
比较等容量数据的方差时，用 可避免逐项求离差。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
直接代入方差等于平均平方减平方平均，得到关于a的二次方程并保留两根，主要检查公式与运算。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：展开模平方与数量积
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易混 2015 年湖南高中数学竞赛 第 1 题 · P014039
两题均有缺失数据与方差，但要先核比较对象和用于确定未知量的条件，再形成离差平方。
一题先按个数去掉极值并用已知均值确定未知叶；另一题比较两组等容量完整数据的方差，均值也随未知量变化。
已记下，谢谢！