2011 年湖南预赛

已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+x+1$（$a\in \mathbb{R}$）在区间 $\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 内为减函数，在区间 $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$ 内为增函数，则 $a=\underline{}$。

设 $A,B$ 是两个集合，称 $(A,B)$ 为一个“对子”。当 $A\ne B$ 时，将 $(A,B)$ 与 $(B,A)$ 视为不同的“对子”。满足条件 $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ 的不同的“对子” $(A,B)$ 的个数为 $\underline{}$。

设函数 $f(x)=x^2+x+m$（$m\in {\mathbb{R}}^{+}$）。若 $f(t)<0$，则对函数 $y=f(x)$ 在区间 $(t,t+1)$ 中零点存在情况的判断是 $\underline{}$。

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的两个焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $P(x_0,y_0)$ 满足 $0<\frac{x_0^2}{2}+y_0^2\le 1$，则 $|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 的取值范围是 $\underline{}$。

已知复数 $z_1$ 满足 $(z_1-2)(1+i)=1-i$（$i$ 为虚数单位），复数 $z_2$ 的虚部为 $2$，则 $z_1{z}_2$ 为实数的条件是 $z_2=\underline{}$。

已知数列 $a_n$ 满足递推关系式 $a_{n+1}=2a_n+2^n-1$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），且 $\left\{\frac{a_n+\lambda }{2^n}\right\}$ 为等差数列，则 $\lambda$ 的取值是 $\underline{}$。

过函数 $f(x)=x+\cos x-\sqrt{3}\sin x$ 的图象上一点的切线的斜率为 $k$，则 $k$ 的取值范围是 $\underline{}$。

已知平面内三点 $A,B,C$ 满足 $|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{BC}|=4$，$|\overrightarrow{CA}|=5$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$ 的值为 $\underline{}$。

边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 沿 $BD$ 折成 $60^{\circ }$ 的二面角，则 $BC$ 中点与 $A$ 的距离为 $\underline{}$。

有黑、白、黄筷子各 $8$ 只，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双筷子不同色，则至少要取出 $\underline{}$只筷子才能做到。

如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部，试问：在允许将抛物线平移或旋转的条件下，平面内 $2011$ 条抛物线的内部能否盖住整个平面？请作出判断，并证明你的结论。

设 $a_k=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2+1}+\frac{1}{k^2+2}+\cdots +\frac{1}{(k+1{)}^2-1}$，求证：$2011\in \left(\frac{2}{a_{2010}},\frac{2}{a_{2011}}\right)$。

1. (1)

   设实数 $t>0$，求证：$\left(1+\frac{2}{t}\right)\ln (1+t)>2$；

2. (2)

   从编号为 $1$ 到 $100$ 的 $100$ 张卡片中，每次随机地抽取 $1$ 张，然后放回，用这种方式连续抽取 $20$ 次，设抽得的 $20$ 个号码互不相同的概率为 $p$，求证：$p<\frac{1}{e^2}$。

如图所示，已知由 $△ABC$ 的顶点 $A$ 引出的两条射线 $AX,AY$ 分别交 $BC$ 于点 $X,Y$。求证：$A{B}^2\cdot CY\cdot CX=A{C}^2\cdot BX\cdot BY$ 成立的充要条件是 $\angle BAX=\angle CAY$。