2008 年辽宁预赛

设全集 $U=\{x\mid 1\le x\le 7,x\in \mathbb{N}\}$，$A=\{1,2,3\}$，若

则集合 $B$ 可能为（ ）。

1. (A)

   $\{2,3,4\}$

2. (B)

   $\{3,4,5\}$

3. (C)

   $\{4,5,6\}$

4. (D)

   $\{5,6,7\}$

函数 $y={\cos }^{3}x+{\sin }^{2}x-\cos x(x\in \mathbb{R})$ 的最大值是（ ）。

1. (A)

   $\frac{4}{27}$

2. (B)

   $\frac{8}{27}$

3. (C)

   $\frac{16}{27}$

4. (D)

   $\frac{32}{27}$

已知

在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调增加，那么 $a$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $(0,3)$

2. (B)

   $\left(1,\frac{3}{2}\right]$

3. (C)

   $\left[\frac{3}{2},3\right)$

4. (D)

   $(1,3)$

已知抛物线 $x^2=2py(p>0)$，过点 $M\left(0,-\frac{p}{2}\right)$ 向抛物线引两条切线，$A,B$ 为切点，则线段 $AB$ 的长度是（ ）。

1. (A)

   $3p$

2. (B)

   $\frac{5}{2}p$

3. (C)

   $2p$

4. (D)

   $\frac{3}{2}p$

从正方体的 $8$ 个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是（ ）。

1. (A)

   $\frac{29}{189}$

2. (B)

   $\frac{29}{63}$

3. (C)

   $\frac{34}{63}$

4. (D)

   $\frac{4}{7}$

设 $a,b,c$ 是非负实数，则

的最小值是。

设 $S_m$ 是等差数列的前 $m$ 项和，已知 $S_m=30$，$S_{2m}=100$，则 $S_{3m}=$。

已知

则 $a_1+a_2+\cdots +a_{99}=$。

10.  已知 $\lg x_1,\lg x_2,\lg x_3,\lg x_4,\lg x_5$ 是连续正整数（从小到大或从大到小），且

则 $x_1$ 的最小值是。

11.  设 $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$，$\csc x+\cot x=\frac{m}{n}$（$m,n$ 没有大于 $1$ 的公约数），则 $m+n=$。

空间有 $9$ 个点，其中任意 $4$ 点不共面。在这 $9$ 个点间连接若干条线段，使图中不存在四面体，则图中三角形的个数最多是。

13.  已知函数 $f(x)=\sqrt{x+2}+k$，且存在 $a,b(a<b)$ 使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$，求实数 $k$ 的取值范围。

设数列 $\{a_n\}$（$a_n\ge 0$）满足 $a_1=0,a_2=1,a_3=9$，且

其中 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，求 $a_n(n\ge 3)$ 的表达式。

如图，锐角 $△ABC$ 的外心为 $O$，直线 $BO$ 和 $CO$ 分别与边 $AC,AB$ 交于点 $B^{\prime },C^{\prime }$，直线 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 交 $△ABC$ 的外接圆于点 $P,Q$，且 $AP=AQ$。求证：$△ABC$ 是等腰三角形。

已知椭圆

的左顶点为 $A$，右焦点为 $F(c,0)$，且 $2b,a,c$ 成等比数列。

1. (1)

   求椭圆的离心率；

2. (2)

   过点 $F$ 的直线与椭圆相交于 $M,N$ 两点，直线 $AM,AN$ 分别与右准线 $l$ 相交于 $P,Q$ 两点，求证：$\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}$ 为定值。