2008 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

由非负性及初值得 $S_2=1,S_3=10$，并且 $S_n>0$ 对 $n\ge 2$ 成立。由题设，对 $n\ge 4$ 有

假设相邻两项为 $S_{n-1}=10^{n-3},S_{n-2}=10^{n-4}$，则根号内为 $10^{2n-4}$，故 $S_n=10^{n-2}$。归纳得此式对所有 $n\ge 2$ 成立。因此对 $n\ge 3$，