培玉 · 一试

2024 年福建预赛

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第 1 题

在 $△ A BC$ 中，已知 $A B = 4, BC = 2, A C = 23$ 。若动点 $P$ 满足 $∣ CP ∣ = 1$ ，则 $A P \cdot BP$ 的最大值为。

第 2 题

已知 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为方程 $z^{3} = - i$ 的三个不同的复数根，则 $z_{1} z_{2} + z_{2} z_{3} + z_{3} z_{1} =$ 。

第 3 题

设

a = 10 个 6 66 \dots 6, b = 6 个 3 33 \dots 3,

则 $a, b$ 的最大公约数为。

第 4 题

某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派 $4$ 名选手参加比赛。组委会随机将这 $12$ 名选手分成 $6$ 组，每组 $2$ 人，则在上述分组方式中每组的 $2$ 人均来自不同年级的概率为。

第 5 题

在棱长为 $6$ 的正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, BC$ 的中点，点 $G$ 在棱 $C C_{1}$ 上。若平面 $EFG$ 与底面 $A BC D$ 所成角的余弦值为 $\frac{3 17}{17}$ ，则平面 $EFG$ 截正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面多边形的周长为。

第 6 题

对于实数 $x, y, z$ ，记 $max {x, y, z}$ 为 $x, y, z$ 中的最大者。若非负实数 $a, b$ 满足 $a + b = 9$ ，则 $max {a^{2}, 4 b^{2}, 2 ab}$ 的最小值为。

第 7 题

已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且

S_{n} = \frac{9}{8} a_{n} - \frac{3}{8} \cdot 3^{n} + \frac{3}{8} .

则使

i = 1 \sum n \frac{S _{i}}{a _{i}} < 2024

成立的最大正整数 $n$ 的值为。

第 8 题

设

f (x) = a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},

其中 $a_{i} \in {- 1, 1} (i = 0, 1, 2, \dots, 6)$ 。若 $f (2) = - 53$ ，则 $f (1) =$ 。

第 9 题

已知 $A$ 为双曲线

C : \frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1

的右顶点，过点 $A$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别与双曲线 $C$ 交于另外两点 $M, N$ ，其中 $k_{1} > 0, k_{1} k_{2} = 1$ 。若点 $P (\frac{6}{5}, 0)$ 满足

\frac{∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣}{∣ MN ∣ ^{2}} = \frac{14}{25},

则 $△ A MN$ 的面积为。

第 10 题

若 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{100}$ 是 $1, 2, \dots, 100$ 的一个排列，则

S = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ x_{2} - x_{3} ∣ + \dots + ∣ x_{99} - x_{100} ∣ + ∣ x_{100} - x_{1} ∣

的最大值为。

第 11 题

已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点（ $A$ 在第一象限），且

A F_{2} = 5 F_{2} B, ∣ A F_{1} ∣ = 5∣ A F_{2} ∣.

(1)
求椭圆 $C$ 的离心率；
(2)
若 $△ F_{1} A B$ 的面积为 $\frac{24}{5}$ ，求点 $A$ 的坐标。

第 12 题

已知函数

f (x) = \frac{x + 2}{e ^{x}} - (m - 2) x - ln (x + 2) + 1 - 2 m (m \in R) .

(1)
当 $m = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；
(2)
若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围。

第 13 题

如图， $O$ 为锐角 $△ A BC$ 外接圆圆心， $A D$ 为 $⊙ O$ 的一条直径， $H$ 是 $△ A BC$ 的垂心， $BE, CF$ 是 $△ A BC$ 的两条高， $M$ 是边 $BC$ 的中点， $S$ 是 $M$ 关于圆心 $O$ 的对称点。已知直线 $EF$ 过点 $S$ 且与直线 $BC$ 相交于点 $T$ 。

(1)
求证： $H, M, D$ 三点共线；
(2)
求证： $A, S, M, T$ 四点共圆；
(3)
若 $△ A BC$ 外接圆半径为 $R$ ，求线段 $A M$ 的长（用 $R$ 表示）。

第 14 题

已知非负实数 $a, b, c, d, e$ 的和为 $1$ 。求证：

a b + 1 + b c + 1 + c d + 1 + d e + 1 + e a + 1 < \frac{5}{2} .

第 15 题

设正整数 $n$ 是合数， $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k} (k \geq 3)$ 是 $n$ 的全部正因数，且

1 = d_{1} < d_{2} < \dots < d_{k} = n .

对于 $2 \leq i \leq k - 1$ ，若 $d_{i} ∤ d_{i - 1} d_{i + 1}$ ，则称 $d_{i}$ 是 $n$ 的一个“好因数”。若 $n$ 的“好因数”个数小于 $n$ 的不同素因子个数，则称 $n$ 为“好数”。

(1)
问： $16, 2024$ 是否为“好数”？
(2)
求所有的“好数”。