2026 年贵州预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

从集合 ${1, 2, 3, \dots, 37}$ 中选出两个数，使得其余 $35$ 个数之和是这两个数之积。则满足条件的两个数之和为。

已知 $z \in C$ ，且

12∣ z ∣^{2} = 2∣ z + 2 ∣^{2} + ∣ z^{2} + 1 ∣^{2} + 31,

则 $z + \frac{6}{z} =$ 。

设 $O$ 是 $△ A BC$ 三边的垂直平分线的交点，且

B C^{2} + 2 A C = 2 A B^{2} .

点 $E$ 满足 $BE = 2 E A$ ，则 $BC \cdot EO$ 的最小值是。

在四棱锥 $M - A BC D$ 中，底面 $A BC D$ 为矩形， $M D ⊥$ 平面 $A BC D$ 。已知 $M D$ 的长为整数， $M A, MC, MB$ 的长为三个连续的奇数。则四棱锥 $M - A BC D$ 的体积为。

有三个红色、三个蓝色、三个绿色共 $9$ 个形状相同的筹码，将它们放入一个 $3 \times 3$ 的方格表中，则使得任意两个颜色相同的筹码互不相邻（两个方格有且仅有公共边叫相邻）的概率为。

多项式 $x^{20} + x^{10} + 1$ 除以 $(x - 1)^{2}$ 的余式为。

已知数列 ${a_{n}}$ 有通项公式 $a_{n} = \frac{n ^{3}}{3 ^{n}}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ 。

在 $△ A BC$ 中，若

\frac{tan A}{tan B} + \frac{tan A}{tan C} = 3,

则 $sin A$ 的最大值是。

已知函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 上单调递减，

f (x) f (f (x) + \frac{2}{x}) = 1

在 $(0, + \infty)$ 上恒成立。则函数 $y = f (3^{x} - 9^{x})$ 的最小值是。

设函数 $f (x) = sin x - a x (2 + cos x)$ 。若当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是。

把圆沿圆心分成 $n$ 个扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不允许相邻的扇形有相同的颜色。试问：共有多少种不同的染色方法？

已知椭圆

\frac{x ^{2}}{10} + \frac{y ^{2}}{6} = 1

的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $M (1, 0)$ ，过点 $F_{1}$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点（ $P, Q$ 不在 $x$ 轴上），直线 $MP, MQ$ 与椭圆的另一个交点分别为 $A, B$ 。

（1）椭圆上是否存在关于直线 $l$ 对称的两点？若有，求斜率 $k$ 的取值范围；若没有，请说明理由。

（2）若

\frac{MP}{M A} + \frac{MQ}{MB} = 3,

求直线 $l$ 的斜率。

在平面内固定摆放着一个边长为 $8 cm$ 的正方形框，现把一根周长为 $34 cm$ 的无弹性细绳圈摆放在该平面内，使正方形框在细绳圈内，今用一支笔绑紧细绳，使其笔尖围绕细绳滑动出轨迹 $Γ$ （正方形边框、细绳及笔尖都不考虑粗细及大小）。求轨迹 $Γ$ 上的点到正方形框的中心的最大距离。

在单位正方体的内部有一个四面体 $A BC D$ 。设 $E, F$ 分别是棱 $A B, C D$ 的中点。求证：

A B \cdot C D \cdot EF \leq 2.