培玉 · 一试

2023 年甘肃预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，且满足

∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = ∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 1,

则 $∣ z_{1} + z_{2} ∣ =$ 。

第 2 题

设集合

A = {x ∣ a x^{2} + 3 x - 2 a = 0} (a 为非零实数), B = {x ∣ 2 x^{2} - 5 x - 42 \leq 0} .

若 $A \cap B = A$ ，则 $a$ 的取值范围是。

第 3 题

在 $△ A BC$ 中，已知

A B \cdot A C + 2 B A \cdot BC = 3 C A \cdot CB,

则 $cos C$ 的最小值是。

第 4 题

袋中装有 $m$ 个红球和 $n$ 个白球，其中 $m > n \geq 4$ 。现从中任取两个球，若取出的两个球同色的概率等于异色的概率，则满足 $m + n \leq 40$ 的数组 $(m, n)$ 的个数为。

第 5 题

已知各项均为整数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = - 1, a_{7} = 4$ ，前 $6$ 项依次成等差数列，从第 $5$ 项起依次成等比数列。若正整数 $m$ 使得

a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} = a_{m} a_{m + 1} a_{m + 2},

则 $m =$ 。

第 6 题

已知 $P$ 为直线 $x + 2 y = 4$ 上的一个动点，过 $P$ 作椭圆

x^{2} + 4 y^{2} = 4

的两条切线，切点为 $A, B$ 。当 $P$ 运动时，直线 $A B$ 过定点的坐标为。

第 7 题

已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 与 $g (x) = 2 x e^{x} + a$ 的图像有且只有三个交点，则实数 $a$ 的取值范围为。

第 8 题

已知

a = 0.1 e^{0.1}, b = \frac{1}{9}, c = - ln 0.9,

则 $a, b, c$ 的大小关系是。

第 9 题

正四面体 $A BC D$ 的底面 $BC D$ 的中心为 $O$ ， $A B = 1$ 。以 $O A$ 为轴将正四面体旋转 $9 0^{\circ}$ ，则得到的四面体与原正四面体重合部分的体积为。

第 10 题

从 $1, 2, \dots, 20$ 中取 $k$ 个不同的数构成集合 $M$ ，使得 $M$ 中一定有 $4$ 个不同的数 $a, b, c, d$ ，满足 $a - b + c - d$ 能被 $20$ 整除，则 $k$ 的最小值为。

第 11 题

已知 $△ A BC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且

3 b cos \frac{A + B}{2} = c sin B .

(1)
求 $∠ C$ 的大小；
(2)
若 $a + b = 3 c$ ，求 $sin A$ 。

第 12 题

已知长方形 $A BC D$ 中， $A B = 2, A D = 1$ ， $M$ 为 $D C$ 的中点。将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折起，使得平面 $A D M ⊥$ 平面 $A BCM$ 。

(1)
求证： $A D ⊥ BM$ ；
(2)
若 $E$ 是线段 $D B$ 上的一个动点，求 $E$ 的位置，使得二面角 $E - A M - D$ 的余弦值为 $5 /5$ 。

第 13 题

已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且

a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{a _{n} + 2}, n \in N_{+} .

求证：

(1)
$a_{n} \leq \frac{1}{2 ^{n - 2}}$ ；
(2)
$\frac{2 a _{1}}{a _{1} + 2} + \frac{4 a _{2}}{a _{2} + 2} + \dots + \frac{2 n a _{n}}{a _{n} + 2} < 4$ 。

第 14 题

马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 $n + 1$ 次状态的概率分布只跟第 $n$ 次的状态有关，与第 $n - 1, n - 2, \dots$ 次的状态没有任何关系。现有甲、乙两个盒子，盒中都有大小、形状、质地相同的 $2$ 个红球和 $1$ 个黑球。从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行 $n$ 次操作后，记甲盒中黑球的个数为 $X_{n}$ ，甲盒中恰有 $1$ 个黑球的概率为 $a_{n}$ ，恰有 $2$ 个黑球的概率为 $b_{n}$ 。

(1)
求 $X_{1}$ 的分布列；
(2)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(3)
求 $X_{n}$ 的数学期望。

第 15 题

已知 $F$ 是抛物线

C : x^{2} = 4 y

与椭圆

\frac{y ^{2}}{a ^{2}} + \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的公共焦点，椭圆上的点 $M$ 到 $F$ 的最大距离为 $3$ 。

(1)
求椭圆的方程；
(2)
过 $M$ 作 $C$ 的两条切线，记切点分别为 $A, B$ ，求 $△ M A B$ 面积的最大值。

第 16 题

本题整理中，不计分。