2012 年河北预赛（高二卷）

已知集合 $A=\{x\mid 5x-a\le 0,a\in \mathbb{N}\}$，若 $5\in A\cap \mathbb{Z}$，则 $a$ 的最小值为。

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=-f(x)$，且

则 $f(f(3.5))=$。

在 $△ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $150^{\circ }$，$|AC|=2$，则 $|AB|$ 的范围是。

已知点 $M,N$ 的坐标都满足不等式组

且 $\vec{a}=(1,-1)$，则 $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{a}$ 的取值范围是。

函数 $y=a^{x+3}-2$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）的图象恒过定点 $A$。若点 $A$ 在直线

上，且 $m,n>0$，则 $3m+n$ 的最小值为。

已知点 $P$ 是直线 $l:kx+y+4=0$（$k>0$）上一动点，$PA,PB$ 是圆

的两条切线，$A,B$ 是切点。若四边形 $PACB$ 的最小面积是 $2$，则 $k=\underline{}$。

在三棱锥 $A-BCD$ 中，侧棱 $AB,AC,AD$ 两两垂直，$△ABC,△ACD,△ADB$ 的面积分别为

则三棱锥 $A-BCD$ 的外接球体积为。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=m$（$m$ 为正整数），且

若 $a_4=7$，则 $m$ 的所有可能取值为。

已知在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，$△ABC$ 的外接圆半径 $R=\sqrt{3}$，且满足

1. (1)

   求角 $B$ 和边 $b$ 的大小；

2. (2)

   求 $△ABC$ 面积的最大值。

如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，三角形 $ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$M$ 是 $A{A}_1$ 上的一点，$A{A}_1=4,A_{1}M=1$。$P$ 是棱 $BC$ 上一点，且由 $P$ 沿棱柱侧面经过棱 $C{C}_1$ 到点 $M$ 的最短路线长为 $3\sqrt{2}$，设这条最短路线与 $C{C}_1$ 的交点为 $N$。

1. (1)

   求证：$A_{1}B\Vert$ 平面 $MNP$；

2. (2)

   求平面 $MNP$ 和平面 $ABC$ 所成二面角（锐角）的正切值。

设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_2=3$，$2S_n=n+n{a}_n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   求数列

   $$c_n=\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1},& n\text{ 为奇数},\\ 3\times 2^{a_{n-1}}+1,& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

   的前 $2n$ 项和 $T_{2n}$。

已知二次函数 $f(x)$ 的二次项系数为 $a$，且不等式 $f(x)>-2x$ 的解集为 $(1,3)$。

1. (1)

   若函数 $y=f(x)+6a$ 有且只有一个零点，求 $f(x)$ 的解析式；

2. (2)

   记 $f(x)$ 的最大值为 $h(a)$，求 $h(a)$ 的最小值。

如图，在平面直角坐标系中，方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆 $M$ 的内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 互相垂直，且 $AC$ 和 $BD$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上。

(1) 求证：$F<0$；

(2) 若四边形 $ABCD$ 的面积为 $8$，对角线 $AC$ 的长为 $2$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$，求 $D^2+E^2-4F$ 的值。

已知正实数 $x,y$，设 $a=x+y$，$b=\sqrt{x^2+7xy+y^2}$。

(1) 当 $y=1$ 时，求 $b/a$ 的取值范围；

(2) 若 $c^2=kxy$，且对于任意的正数 $x,y$，以 $a,b,c$ 为长度的线段都能构成三角形，求 $k$ 的取值范围。