2011 年天津预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

如果 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时总有 $sin x > k x$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是（　　）。

已知函数 $y = f (x)$ 有反函数 $y = f^{- 1} (x)$ ，将 $y = f (x)$ 的图象绕 $(1, - 1)$ 逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ ，所得曲线的方程是（　　）。

设 $n$ 为正整数， $x = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ ， $y = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ ，则（　　）。

若直线 $y = x - 3$ 与曲线 $y = e^{x + a}$ 相切，则实数 $a$ 的值是（　　）。

在半径为 $1$ 的圆 $⊙ O$ 上，取一个定点 $A$ 和一个动点 $B$ 。设点 $P$ 满足 $A P ∥ OB$ 且 $A P \cdot A B = 1$ ，则 $P$ 点的轨迹是（　　）。

将 $(a + b + c + d)^{9}$ 展开之后再合并同类项，所得的多项式的项数是（　　）。

九个正实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ 构成等比数列，且 $a_{1} + a_{2} = \frac{3}{4}$ ， $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 15$ 。则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ 。

设 $O$ -- $A BC D$ 是正四棱锥，其中 $O A = 3$ ， $BC = 2$ 。以 $O$ 为球心、以 $1$ 为半径作一个球，则这个球与正四棱锥相交部分的体积是。

球面作透明轮廓示意； $O$ 为球心及棱锥顶点。

若实数 $x, α, β$ 满足 $x = lo g_{3} tan α = - lo g_{3} tan β$ ，且 $α - β = \frac{π}{6}$ ，则 $x$ 的值是。

设 $A, B$ 是双曲线的两个焦点， $C$ 在双曲线上。已知 $△ A BC$ 的三边长成等差数列，且 $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ ，则该双曲线的离心率为。

函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且满足

f (x) - 2 x f (\frac{1}{x}) + 3 x^{2} = 0,

则 $f (x)$ 的最小值是。

复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ (3 z + 2 i) = 2 (i z - 6)$ ，则 $∣ z ∣ =$ 。

在四面体 $A BC D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $BC D$ ， $∠ A B D = ∠ B D C = θ < 4 5^{\circ}$ 。已知 $E$ 是 $B D$ 上一点，满足 $CE ⊥ B D$ 且 $BE = A D = 1$ 。

解答题

设 $a, b, c, d, e, f$ 为实数，且

a x^{2} + b x + c \geq d x^{2} + e x + f

对任意实数 $x$ 成立，证明：

4 a c - b^{2} \geq 4 df - e^{2} .

设数列 ${a_{n}}$ 定义为 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 a_{n}^{2} + 1$ ， $n \geq 1$ 。

(1)
证明：当 $n > 1$ 时， $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 4 a_{n}$ ；
(2)
证明：
$\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}} < \frac{1 + 3}{2} .$