2014 年河北预赛

若复数 $z$ 满足 $|z-\overline{z}|=2\sqrt{3}$，且

是实数，则 $|z|=$。

已知函数 $f(x)=x^3-3x$ 的值域为 $\{-2,0,2\}$，这样的 $f(x)$ 有 个。

某植物种子的发芽率为 $0.8$，种子的成苗率为 $0.6$。现有 $100$ 粒已发芽的种子用来育苗，这些种子成苗的期望是。

实数 $x,y$ 满足

则 $x+2y=$。

在四面体 $ABCD$ 中，$AB=CD=5$，$AC=BD=\sqrt{34}$，$AD=BC=\sqrt{41}$，则 $ABCD$ 外接球的表面积是。

已知对 $\forall x\in [0,1]$，都有 $|ax+b|\le 1$，则 $|bx+a|$ 的最大值是。

已知圆 $O:x^2+y^2=1$ 为 $△ABC$ 的外接圆，且 $\tan A=2$。若

则 $x+y$ 的最大值为。

已知函数 $f(x)=x^2+x+11$ 的图象上有一点 $(m,n^2)$，且 $m,n$ 为正整数，则 $m^{n-m}=$。

在 $△ABC$ 中，$AB=\sqrt{2}$，$AC=1$，$\angle C=2\angle A$。

1. (1)

   求 $BC$ 的长；

2. (2)

   设 $P$ 为 $△ABC$ 内一点，$PA=AC$，$PB=PC$，求 $\angle PAB$ 的大小。

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 中，$AD\Vert BC$，$BC\perp CD$，$\angle SDA=\angle SDC=60^{\circ }$，

$E$ 在棱 $SD$ 上，$F$ 为 $BC$ 的中点。

1. (1)

   若 $SF\Vert$ 面 $AEC$，求证：$CE\perp$ 平面 $ABE$；

2. (2)

   在（1）的条件下，求 $BC$ 与平面 $CDE$ 所成角的余弦值。

设 $\{a_n\}$ 是等差数列，且满足：① $a_n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$；② 项数 $\ge 3$；③ 公差 $d>0$。记 $\{a_n\}$ 所有项的和为 $S$。

1. (1)

   写出满足 $S=30$ 的所有 $\{a_n\}$；

2. (2)

   求证：对大于 $8$ 的合数 $m$，总存在 $\{a_n\}$ 使得 $S=m$。

过点 $P(1,2)$ 作倾斜角互补的相异直线 $PA,PB$，分别与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A,B$ 两点。

1. (1)

   求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹；

2. (2)

   若 $P$ 在 $AB$ 的上方，求 $△PAB$ 面积的最大值。

已知函数 $y=f(x)$，点 $A,B,C\in$ 直线 $l$，且

其中 $e$ 是自然对数的底数，$O\notin l$，$a\in \mathbb{R}$。

1. (1)

   若 $a<0$，求函数 $f(x)$ 及其单调区间；

2. (2)

   若 $a=-1$，函数 $f(x)$ 的图象与函数 $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+m$ 的图象有 3 个不同的交点，求实数 $m$ 的取值范围。

数列 $\{a_n\}$ 满足

1. (1)

   求证：$a_n\ge \frac{2}{3}$；

2. (2)

   求证：$\left|a_{2n}-a_n\right|<\frac{10}{27}$。