2013 年河北预赛

已知集合 $A=\left\{1,10,\frac{1}{10}\right\}$，$B=\{y\mid y=\lg x,x\in A\}$，则 $A\cap B=\underline{}$。

已知复数 $z$ 满足 $z+|z|=2+i$，则 $z=\underline{}$。

某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖），相应奖项获奖的概率是以 $a$ 为首项、$2$ 为公比的等比数列，相应的奖金依次是以 $700$ 元为首项、$-140$ 元为公差的等差数列，则参加此次大赛获得奖金的期望是 $\underline{}$ 元。

${\cos }^{2}75^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }+\cos 75^{\circ }\cdot \cos 15^{\circ }$ 的值是 $\underline{}$。

定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=2$，且对任意的 $x\in \mathbb{R}$，都有 $f^{\prime }(x)<\frac{1}{2}$，则不等式 $f({\log }_{2}x)>\frac{{\log }_{2}x+3}{2}$ 的解集为 $\underline{}$。

圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=1$，$A(1,0)$。在圆 $O$ 上取一个动点 $B$，设点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{OB}$（$\lambda \in \mathbb{R}$）且 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=1$。则点 $P$ 的轨迹方程为 $\underline{}$。

$l_1,l_2,\dots ,l_{100}$ 为 $100$ 条共面且不同的直线。若其中编号为 $4k$（$k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）的直线互相平行，编号为 $4k-1$ 的直线都过定点 $A$，则这 $100$ 条直线的交点个数最多为 $\underline{}$。

过正四面体 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ 的四个顶点分别作四个相互平行的平面 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$。若每相邻两个平面间的距离都为 $1$，则该四面体的体积为 $\underline{}$。

设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $2a\cos C=2b-c$。

1. (1)

   求角 $A$ 的大小；

2. (2)

   若 $a=1$，求 $b+c$ 的取值范围。

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=a$，$AC=2$，$A{A}_1=1$。点 $D$ 在棱 $B_1{C}_1$ 上，且 $B_{1}D:D{C}_1=1:3$。

1. (1)

   证明：$BD\perp A_{1}C$；

2. (2)

   当 $a$ 为何值时，二面角 $B-A_{1}D-B_1$ 的大小为 $60^{\circ }$？

已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，$a_2=3$，$2a_{n+1}=3a_n-a_{n-1}$（$n\ge 2$）。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$；

2. (2)

   求使不等式 $\frac{a_n-m}{a_{n+1}-m}<\frac{2}{3}$ 成立的所有正整数 $m,n$ 的值。

在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径。如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，其离心率为 $\frac{1}{2}$，通径长为 $3$。

1. (1)

   求椭圆的方程；

2. (2)

   过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，$I_1,I_2$ 分别为 $△F_{1}B{F}_2$、$△F_{1}A{F}_2$ 的内心，延长 $B{F}_2$ 交椭圆于点 $M$。

   1. (a)

      求四边形 $F_1{I}_2{F}_2{I}_1$ 与 $△A{F}_{2}B$ 的面积的比值 $p$；

   2. (b)

      在 $x$ 轴上是否存在定点 $C$，使 $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CB}$ 为常数？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，说明理由。

已知函数 $f(x)=\left(a-\frac{1}{2}\right)e^{2x}+x$（$a\in \mathbb{R}$）。

1. (1)

   若 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

2. (2)

   若在区间 $(0,+\infty )$ 上，函数 $f(x)$ 的图象恒在曲线 $y=2a{e}^x$ 下方，求 $a$ 的取值范围。

设 $A=x^4+2x^3-x^2-5x+34$，求使 $A$ 为完全平方数的整数 $x$ 的值。