2013 年河北预赛 · 第 14 题

解答

设 $B=x^2+x-1$，则 $A=B^2+33-3x$。若 $x\ge 12$，有 $B>0$、$A<B^2$，而

所以不能为整数平方。若 $x\le -6$，则 $B>0$、$A>B^2$。写 $x=-6-t$，$t\ge 0$，有

也夹在相邻平方间。 只需检查 $x=-5,-4,\dots ,11$。对应的 $A$ 依次为

前16项分别严格介于 $k^2$ 与 $(k+1{)}^2$ 之间，其中 $k$ 依次为 $20,12,8,6,6,5,5,7,12,19,29,41,55,71,89,109$；最后一项 $17161=131^2$。故唯一整数解为 $\boxed{x=11}$。