培玉 · 一试

2025 年甘肃预赛

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第 1 题

若

ln (e^{2 x} + 3) = 2 x + ln 3,

则 $x =$ 。

第 2 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 2, a_{n} = \frac{2 n + 2}{n} a_{n - 1} (n \geq 2) .

那么

\frac{a _{2025}}{i = 1 \sum 2024 a _{i}} = .

第 3 题

已知 $△ A BC$ 中， $A B = CB = 3$ ， $C A = 4$ ，点 $I$ 是 $△ A BC$ 的内心。若有

A I = x A B + y A C,

则 $\frac{x}{y} =$ 。

第 4 题

已知复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ， $i$ 是虚数单位，则

∣ z + 4 i ∣^{2} + ∣ z - 3 ∣^{2}

的最大值为。

第 5 题

正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B_{1} D$ 的距离是。

第 6 题

现有 $1, 2, 3, \dots, 9$ 共 $9$ 个数码，从中随机抽取三个互不相同的数码，则其样本方差 $s^{2} \leq 1$ 的概率为。

第 7 题

设 $a, b, c, d \in R_{+}$ ，

a + b + c + d = 20, ab + a c + a d + b c + b d + c d = 150,

则 $ab c d =$ 。

第 8 题

已知点 $M (x_{1}, y_{1})$ 在椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

上，点 $N (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $2 x + y - 8 = 0$ 上，则

∣ x_{2} - x_{1} ∣ + ∣ y_{2} - y_{1} ∣

的最小值为。

第 9 题

设

A = \frac{4 cos 5 5 ^{\circ} cos 2 5 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ} + sin 4 0 ^{\circ}}{sin 8 0 ^{\circ}},

则 $(A - 1)^{10} =$ 。

第 10 题

已知定义在 $Z$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = - 506$ ，且对任意 $n \in Z$ ，都有

f (n + 12) - f (n) \geq 6 n + 5, f (n + 4) - f (n) \leq 2 (n + 1) .

则 $\frac{f ( 2025 )}{289} =$ 。

第 11 题

$△ A BC$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} = a c$ 。

(1)
求 $∠ B$ 的取值范围；
(2)
求
$\frac{cos A tan C + sin A}{cos B tan C + sin B}$
的取值范围。

第 12 题

在四棱锥 $S - A BC D$ 中，底面 $A BC D$ 是边长为 $1$ 的正方形，且 $S A ⊥$ 平面 $A BC D$ ， $D E ⊥ SC$ ，垂足为 $E$ 。

(1)
求证： $SC ⊥ BE$ ；
(2)
当三棱锥 $E - BC D$ 的体积取得最大值时，求四棱锥 $S - A BC D$ 的表面积。

第 13 题

在一次高二年级组织的联欢活动中，参加者要完成甲、乙、丙三个项目。已知某选手完成甲、乙、丙三个项目的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ，每个项目完成与否相互独立。

(1)
若该选手把甲、乙、丙三个项目各做一次，求该选手至少完成一个项目的概率；
(2)
若活动组织者要求项目甲、乙各做两次，项目丙做三次。如果两次项目甲都完成，则进行项目乙，同时获得积分 $μ$ ；两次项目乙都完成，则进行项目丙，并同时获得积分 $3 μ$ ；三次项目丙只要有两次完成成功，则选手闯关成功并获得积分 $6 μ$ 。已知积分不累计，用 $ξ$ 表示该选手所获积分的数值，求 $ξ$ 的分布列和数学期望。

第 14 题

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

经过点 $P (4, 0)$ ，离心率是 $\frac{3}{2}$ 。

(1)
求椭圆 $C$ 的方程；
(2)
已知 $Q$ 是直线 $l : y = - \frac{1}{2} x + 4$ 上的一个动点，过点 $Q$ 向 (1) 中椭圆 $C$ 引两条切线，切点分别为 $M, N$ 。是否存在定点 $T$ 恒在直线 $MN$ 上？若存在，当 $MT = TN$ 时，求直线 $MN$ 的方程；若不存在，请说明理由。

第 15 题

函数

f (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} + \frac{1}{2} ln ∣ x - 1∣

的导函数为 $f^{'} (x)$ 。定义数列 ${x_{n}}$ ：

x_{1} = a > 3, x_{n + 1} = f^{'} (x_{n}) (n \in N_{+}) .

求证：当

n \geq \frac{l g ( a /3 )}{l g ( 4/3 )}

时，必有 $x_{n + 1} < 3$ 。