培玉 · 一试

2017 年中科大少年班初试

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练习时长（分钟）

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第 1 题

直线 $y = x /100$ 与 $y = sin x$ 的图像共有个交点。

第 2 题

设 $m$ 是正整数，则方程 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq m$ 共有组整数解 $(x, y)$ 。

第 3 题

已知映射

f : {1, 2, 3, 4, 5} \to {1, 2, 3, 4, 5}

既是单射又是满射，并且对任意 $x \in {1, 2, 3, 4, 5}$ 都有 $f (x) + f (f (x)) = 6$ ，则 $f (1) =$ 。

第 4 题

函数 $f (x) = 2 x^{2} - 2 x + 1 - 2 x^{2} + 2 x + 5$ 的取值范围为。

第 5 题

设 $△ A BC$ 是等边三角形，在边 $A C, A B$ 上分别取点 $D, E$ ，使 $A D = \frac{2}{3} A C, A E = \frac{1}{3} A B$ 。直线 $B D$ 与 $CE$ 交于 $F$ 。若 $A F = x A B + y A C$ ，则 $x + y =$ 。

第 6 题

设正四棱锥 $P - A BC D$ 的底面边长和高都是1，点 $E, F, G$ 分别在线段 $PB, PC, P D$ 上，则 $A E + EF + FG + G A$ 的最小值为。

第 7 题

设复数 $z$ 满足 $z + 1/ z \in [1, 2]$ ，则 $z$ 的实部最小值为。

第 8 题

把边长为1的正八边形 $A BC D EFG H$ 分别沿线段 $B D, D F, F H, H B$ 折成直二面角，并且平面 $A CEG$ 与 $B D F H$ 平行。则该多面体的体积为。

第 9 题

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} /2 + 2/ a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{8} =$ 。

第 10 题

从正方体的12条棱中选出4条两两不相交的棱，共有种选法。

第 11 题

设 $△ A BC$ 的外接圆半径是1，角 $A, B, C$ 所对的边长 $a, b, c$ 满足

b = \frac{a}{2} + c cos A .

求：(1) $∠ C$ 的值；(2) $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围。

第 12 题

设椭圆 $E : x^{2} /4 + y^{2} = 1$ 。求：

(1) 点 $(4/ 5, 1/ 5)$ 处椭圆 $E$ 的切线方程；

(2) 设点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，点 $Q$ 在双曲线 $x y = 4$ 上，证明 $∣ PQ ∣ > 6/5$ 。

第 13 题

已知实数 $a, b, c$ 恰好是方程 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 的三个根（允许重根），求这样的数组 $(a, b, c)$ 的个数。

第 14 题

设实数 $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \dots, a_{2017}, b_{2017}$ 满足

0 < a_{i} < 1, 0 < b_{i} < 1 (i = 1, 2, \dots, 2017), i = 1 \sum 2017 (b_{i} - a_{i}) > 2016.

证明：存在 $a_{1}, \dots, a_{2017}$ 的一个排列 $c_{1}, \dots, c_{2017}$ 以及 $b_{1}, \dots, b_{2017}$ 的一个排列 $d_{1}, \dots, d_{2017}$ ，使对所有 $i = 1, \dots, 2017$ 都有 $c_{i} < d_{i}$ 。