培玉 · 一试

2016 年河北预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 14/14 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

已知某函数的图象 $C^{'}$ 与

C : y = \frac{a x + a ^{2} + 1}{x + a - 1}

关于直线 $y = x$ 对称，且图象 $C^{'}$ 关于点 $(3, - 2)$ 对称，则实数 $a$ 的值为。

第 2 题

已知 $A, B, C, D$ 是某球面上不共面的四点，且

A B = BC = A D = 1, B D = A C = 2, BC ⊥ A D,

则此球的体积等于。

第 3 题

已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 4, + \infty)$ 上的增函数。要使得对于定义域内的一切实数 $x$ ，不等式

f (cos x - b^{2}) \geq f (sin^{2} x - b - 3)

恒成立，则实数 $b$ 的范围是。

第 4 题

将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第 $2016$ 个数字是。

第 5 题

函数

y = x^{2} - x^{4} + 2 x^{2} - x^{4}

的最大值为。

第 6 题

在 $△ A BC$ 中， $D$ 为边 $BC$ 的中点，动点 $E$ 在线段 $A D$ 上移动时，若

BE = λ B A + μ BC,

则 $s = λ^{2} + μ$ 的最小值是。

第 7 题

如果从数 $1, 2, \dots, 14$ 中按由小到大的顺序取出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ，使得同时满足

a_{2} - a_{1} \geq 3, a_{3} - a_{2} \geq 3,

那么所有符合要求的不同取法有种。

第 8 题

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且对于任意 $n \in N^{*}$ ，

a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n},

则

⌊ n = 1 \sum 2016 \frac{1}{a _{n} + 1} ⌋

的值是。

第 9 题

已知

f (sin x) = \frac{sin 3 x}{sin ^{2} x} .

(1)
求 $f (x)$ 的解析式及定义域；
(2)
若方程 $f (x) = m$ 有两个不等实根，求 $m$ 的取值范围。

第 10 题

设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且

a_{1} + a_{2} = 4, \frac{2 S _{n + 1} + 1}{2 S _{n} + 1} = \frac{a _{2}}{a _{1}} = c (c > 0, n \in N^{*}) .

(1)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
令 $b_{n} = a_{n} lo g_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

第 11 题

已知函数

f (x) = ln x + \frac{a}{x} (a \in R) .

(1)
判断 $f (x)$ 在定义域内的单调性；
(2)
若 $f (x) < 2 x^{2}$ 在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

第 12 题

已知非负实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 1$ ，记

S = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} .

求证：

\frac{9}{4} \leq S \leq \frac{5}{2} .

第 13 题

过椭圆

\frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

的右焦点 $F$ 作两条垂直的弦 $A B, C D$ 。设 $A B, C D$ 的中点分别为 $M, N$ 。

(1)
证明：直线 $MN$ 必经过定点，并求此定点；
(2)
若 $A B, C D$ 的斜率均存在，求 $△ FMN$ 面积的最大值。

第 14 题

如图，在等腰 $△ A BC$ 中， $D$ 是底边 $BC$ 上一点， $P$ 是 $A D$ 上一点，且 $△ CP D$ 、 $△ BP D$ 的外接圆分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $E, F$ ， $I$ 是 $△ A BC$ 的内心。

求证：当 $P D^{2} = PE \cdot PF$ 时， $B, I, P, C$ 四点共圆。