2026 年广东预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设

S = {a : a^{2} < 2026}, T = {a : 关于 x 的一元二次方程 x^{2} - 4 x + a = 0 有整数根} .

则 $S \cap T$ 的元素个数为。

已知

lo g_{2} x = lo g_{3} y = lo g_{5} x^{2} + y^{2},

则 $x y =$ 。

有 $24$ 名小朋友排成一圈，现在要将小朋友们两两配对，一共配成 $12$ 对，并要求任意两名配对的小朋友之间恰好隔了 $3$ 名小朋友。则共有种配对的方法。

在平面直角坐标系中，点 $A (- 3, 0), B (3, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $∣ M A ∣ \cdot ∣ MB ∣ = 6$ ，则 $M$ 的纵坐标的最大值为。

若存在 $n + 1$ 个实数 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ 同时满足

(1) a_{0} = - 2026 a_{1}; (2) 对 k = 1, 2, \dots, n - 1, a_{k + 1} = \frac{a _{k}^{2}}{2 a _{k} + a _{k - 1}},

则正整数 $n$ 的最大值是。

在矩形 $A BC D$ 中， $A B = 3, BC = 2$ 。将 $A BC D$ 沿对角线 $A C$ 折起后形成三棱锥 $D - A BC$ 。当三棱锥 $D - A BC$ 的体积最大时，直线 $A C, B D$ 所成角的余弦值为。

设整数 $1 = a_{1} < a_{2} < \dots < a_{7} = 100$ ，则

i = 1 \sum 6 [\frac{a _{i + 1}}{a _{i}}]

的最小可能值为。

四个互不相等的复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ 的实部和虚部都是非负整数，且

∣ z_{1} z_{2} z_{3} z_{4} ∣ = 2026,

则 $∣ z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} ∣ =$ 。

给定平面直角坐标系内三点 $A (\frac{1}{2}, 0), B (2, \frac{3}{2}), C (2, - 2)$ 。过 $A$ 作一条直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 交于两点 $P, Q$ ，则

\frac{∣ BP ∣}{∣ CQ ∣}

的取值范围是。

设 $H$ 是锐角三角形 $A BC$ 的垂心，三角形 $A B H, BC H, C A H$ 的面积分别为 $2, 3, 4$ ，则三角形 $A BC$ 的外接圆的面积为。

设

a_{0} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1 + 3 a_{n}^{2} - 6 a_{n} + 4 (n \geq 0) .

求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式。

设 $A BC D$ 是一个凸四边形，延长 $D C, A B$ 交于点 $E$ 。已知

BE = A B, B D - A D = A C - BC = \frac{1}{2} A B, C D = 5 A B .

求 $tan ∠ A E D$ 。

(1)
求证：对任意满足 $0 < b - a \leq 1$ 的实数 $a, b$ ，开区间 $(a, b)$ 内分母最小的分数是唯一的（分母必须是正整数，整数视为分母为 $1$ 的分数）；
(2)
设整数 $m \geq 2$ ，实数 $a, b$ 满足
$\frac{1}{m ( m + 1 )} < a < b < 1 - \frac{1}{m ( m + 1 )}, b - a > \frac{1}{m + 1} .$
求证：开区间 $(a, b)$ 内分母最小的分数的分母不超过 $m$ 。

有 $100$ 名乒乓球选手参加一次单打联赛，每两人最多打一场，每一场比赛都会分出胜负。已知比赛结束后，对于任意四名两两比赛过的选手，都可以从中选出三名选手，使得这三名选手之间的比赛中，每人都恰胜了一场。求比赛场数的最大可能值。