2026 年广东预赛

解答

先约定每个有理数均写成既约分数，分母取正整数。

（1）有理数在实数中稠密，故 $(a,b)$ 内的分数分母集合非空，并有最小值。设这个最小值为 $q$。若有两个不同的分数都以 $q$ 为分母，则在它们之间可取一对相邻的同分母网格点

它们也都位于 $(a,b)$ 内。

若 $q=1$，这两个整数相距至少 $1$，与 $b-a\le 1$ 及区间开性矛盾。以下设 $q\ge 2$。写

若 $s=0$ 或 $s=q-1$，上述两个网格点中有一个整数，从而区间内已有分母 $1<q$ 的分数，矛盾。若 $1\le s\le q-2$，则

中间分数约分后的分母不超过 $q-1$，仍与 $q$ 的最小性矛盾。因此分母最小的分数只能有一个。

（2）考虑 $m$ 阶 Farey 序列，即 $[0,1]$ 内所有分母不超过 $m$ 的既约分数按大小排列所得的序列。反设 $(a,b)$ 内没有分母不超过 $m$ 的分数，则 $a,b$ 必位于某两个相邻 Farey 分数之间。

Farey 序列两端的空隙分别为

若 $(a,b)$ 落在左端空隙，由 $a>1/[m(m+1)]$，有

与题设矛盾；右端空隙同理。

再看任一内部空隙。设其相邻两项为 $p/q<r/s$，则 $q,s\ge 2$，并由 Farey 相邻项性质

当 $m\ge 3$ 时，$q+s\ge m+1$ 给出

所以该空隙长度为

这也不可能容纳长度大于 $1/(m+1)$ 的 $(a,b)$。当 $m=2$ 时 Farey 序列只有 $0,1/2,1$，两个空隙均已属于端部情形。矛盾说明 $(a,b)$ 内必有一个分母不超过 $m$ 的分数。由（1），其中分母最小者唯一，且其分母不超过 $m$。