2024 年贵州预赛

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，则 $\sum _{i=1}^{12}{a}_{2i}^2=\underline{}$。

已知函数 $f(x)=|\lg x|$，若正实数 $a,b(a<b)$ 满足 $f(a)=f(b)$，则 $2024a+2025b$ 的取值范围是。

已知 $△ABC$ 的外心为 $O$，$|AB|=|AC|=8$，$\overrightarrow{AO}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}(\alpha ,\beta \in \mathbb{R})$。若

有最大值 $3/2$，则参数 $t=\underline{}$。

在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$。若 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4\cos C$，且 $c=2$，则 $△ABC$ 周长的取值集合为。

设 $2x+y-\sqrt{5}z=2$，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值为。

如图是一种“四脚帐篷”的示意图，曲线 $AOC$ 和 $BOD$ 均是以 $a$ 为半径的半圆，平面 $AOC$ 和平面 $BOD$ 均垂直于平面 $ABCD$。用任意平行于帐篷底面 $ABCD$ 的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，则帐篷体积为。

已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=2b_1=2$，

则通项公式 $a_n=\underline{}$。

已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1+z_2|=5$，$|z_1-z_2|=5\sqrt{3}$，

则

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题。该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”。意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ABC$ 的三个内角均小于 $120^{\circ }$ 时，使得 $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ }$ 的点 $F$ 即为费马点；当 $△ABC$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ }$ 时，最大内角的顶点即为费马点。试用以上知识解决下面问题：

(1) 用尺规作图画出下图中 $△ABC$ 的费马点 $F$，保留作图痕迹并写出简单证明；

(2) 已知 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$\cos 2B+\cos 2C-\cos 2A=1$ 且 $S_{△ABC}=2$。点 $F$ 为 $△ABC$ 的费马点，求

(3) 设 $F$ 为 $△ABC$ 的费马点，$B=\pi /2$，$|FA|+|FC|=m|FB|$，求实数 $m$ 的最小值。

一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为 $a,b$。若关于 $x$ 的三次方程

有三个互不相等的实数根，求满足条件的有序数对 $(a,b)$ 的概率。

求函数

的最大值。

已知 $a,b,c$ 为正整数，证明：方程

无解。