2015 年河北预赛

按原题序浏览；已整理 14/14 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

已知函数

f (x) = ln (1 + a^{2} x^{2} - a x) + 1 (a > 0),

则

f (ln a) + f (ln \frac{1}{a}) = .

设点 $A$ 、 $B$ 分别在抛物线 $y^{2} = 6 x$ 和圆

C : (x - 2)^{2} + y^{2} = 1

上，则 $∣ A B ∣$ 的取值范围是。

若

tan α = 3 tan β, 0 < β \leq α < \frac{π}{2},

则 $α - β$ 的最大值为。

已知 $△ A BC$ 为等腰直角三角形，其中 $∠ C$ 为直角， $A C = BC = 1$ 。过点 $B$ 作平面 $A BC$ 的垂线 $D B$ ，使得 $D B = 1$ 。在 $D A$ 、 $D C$ 上分别取点 $E$ 、 $F$ ，则 $△ BEF$ 周长的最小值为。

已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x$ 。对任意的 $m \in [- 2, 2]$ ，

f (m x - 8) + f (2^{x}) < 0

恒成立，则正实数 $x$ 的取值范围为。

已知向量 $a, b, c$ 满足

∣ a ∣ : ∣ b ∣ : ∣ c ∣ = 2 : k : 3 (k \in N^{*}),

且 $b - a = 2 (c - b)$ 。若 $α$ 为 $a, c$ 的夹角，则 $cos α =$ 。

现有一个能容纳 10 个半径为 $1$ 的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为。

将 10 个小球（5 个黑球和 5 个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球。无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为。

在 $△ A BC$ 中，内角 $A, B, C$ 对边的边长分别为 $a, b, c$ 。向量

p = (sin A + sin C, sin B), q = (a - c, b - a),

且满足 $p ⊥ q$ 。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ 。

(1)
求证：数列 ${l g (a_{n} + 1)}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
若
$b_{n} = \frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{a _{n} + 2},$
且数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 1$ 。

设

f (x) = e^{x} - a x - a .

已知：如图，两圆交于 $A, B$ 两点， $C D$ 为一条外公切线，切点分别为 $C, D$ 。过 $A$ 任意作一条直线分别交两圆于 $E, F$ ， $EC$ 交 $F D$ 于点 $P$ 。

求证： $PB$ 平分 $∠ EBF$ 。

设正数 $x, y$ 满足

x^{3} + y^{3} = x - y,

求使

x^{2} + λ y^{2} \leq 1

恒成立的实数 $λ$ 的最大值。

已知椭圆 $C : \frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 及点 $P (1, \frac{1}{2})$ 。过点 $P$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 两点分别作 $C$ 的切线交于 $Q$ 。