2015 年河北预赛 · 第 10 题

解答

由 $a_1=2$ 及 $a_{n+1}+1=(a_n+1{)}^2$，全部 $a_n>0$，且 $\lg (a_{n+1}+1)=2\lg (a_n+1)$。因此 $\{\lg (a_n+1)\}$ 是首项 $\lg 3$、公比二的等比数列，$\boxed{a_n=3^{2^{n-1}}-1}$。又 $a_{n+1}=a_n(a_n+2)$，故 $b_n=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{a_{n+1}}$。相加得到 $\boxed{S_n=1-\frac{2}{a_{n+1}}<1}$。