2018 年河北预赛（高三卷）

若 $z\in \mathbb{C}$ 且 $|z+2-2i|=1$，则 $|z-2-2i|$ 的最小值是。

若 $x,y\in [-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$，$a\in \mathbb{R}$，且满足 $\{\begin{array}{l}{x}^3+\sin x-3a=0,\\ 9y^3+\frac{1}{3}\sin 3y+a=0,\end{array}$ 则 $\cos (x+3y)=$。

设点 $O$ 为三角形 $ABC$ 内一点，且满足 $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$，则 $\frac{S_{△AOB}+2S_{△BOC}+3S_{△COA}}{S_{△ABC}}=$。

过动点 $M$ 作圆 $C:(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=1$ 的切线 $MN$，其中 $N$ 为切点。若 $|MN|=|MO|$（$O$ 为坐标原点），则 $|MN|$ 的最小值为。

欲登上 $7$ 阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有种上楼梯的方法。

已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 $A{C}_1$ 为轴，则该圆柱体积的最大值为。

若实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2=3,x+2y-2z=4$，则 $z_{\max }+z_{\min }=$。

在 $△ABC$ 中，已知 $AC=3,\sin C=k\sin A(k\ge 2)$，则 $△ABC$ 的面积最大值为。

已知将函数 $g(x)=\cos x$ 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度得到函数 $y=f(x)$ 的图象。关于 $x$ 的方程 $f(x)+g(x)=m$ 在 $[0,2\pi )$ 内有两个不同的解 $\alpha ,\beta$。

1. (1)

   求满足题意的实数 $m$ 的取值范围；

2. (2)

   求 $\cos (\alpha -\beta )$（用含 $m$ 的式子表示）。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=a_n+a_n^2(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。记 $S_n=\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}$，$T_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+a_k}$，求 $S_n+T_n$ 的值。

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点。当直线 $AB$ 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 $60^{\circ }$。

1. (1)

   求该椭圆的离心率；

2. (2)

   设线段 $AB$ 的中点为 $G$，$AB$ 的中垂线与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $D,E$ 两点。记 $△GDF$ 的面积为 $S_1$，$△OED$（$O$ 为坐标原点）的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的取值范围。

判断曲线 $f(x)=e^{x-1}$ 与曲线 $g(x)=\ln x$ 的公切线的条数，并说明理由。

已知三棱锥 $S$-$ABC$ 中侧棱 $SA,SB,SC$ 互相垂直，$M$ 是底面三角形 $ABC$ 内一动点，直线 $MS$ 与 $SA,SB,SC$ 所成的角分别是 $\alpha ,\beta ,\gamma$。

1. (1)

   证明：$\alpha ,\beta ,\gamma$ 不可能是锐角三角形的三个内角；

2. (2)

   设 $S=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\beta }+\frac{1}{{\cos }^2\gamma }-\frac{2({\cos }^3\alpha +{\cos }^3\beta +{\cos }^3\gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }$，证明：$S\ge 3$。