2014 年湖北预赛

已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。若 $a_{11}=157$，则 $a_1=\underline{}$。

函数 $y={\sin }^{2}x+\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x$ 的值域为 $\underline{}$。

在 $△ABC$ 中，$A=30^{\circ }$，$2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3{\overrightarrow{BC}}^2$，则 $△ABC$ 的最大角的余弦值为 $\underline{}$。

在直角坐标平面内，曲线 $|x-1|+|x+1|+|y|=3$ 围成的图形的面积是 $\underline{}$。

若 $\sqrt{3-a}-\sqrt{a+1}>\frac{1}{2}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$。

去掉集合 $A=\{n\mid n\le 10000,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ 中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第 $2014$ 项为 $\underline{}$。

在四面体 $ABCD$ 中，$AB=AC=3$，$BD=BC=4$，$BD\perp \text{平面 }ABC$，则四面体 $ABCD$ 的外接球的半径为 $\underline{}$。

三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为 $\underline{}$。

若 $a\in A$ 且 $a-1\notin A,a+1\notin A$，则称 $a$ 为集合 $A$ 的孤立元素。那么，集合 $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 的无孤立元素的 $4$ 元子集有 $\underline{}$ 个。

共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_1,e_2$，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的 $2$ 倍，则 $\frac{1}{e_1}+\frac{1}{e_2}$ 的最大值为 $\underline{}$。

当 $|x|\le 1$ 时，不等式 $2p{x}^2+qx-p+1\ge 0$ 恒成立，试求 $p+q$ 的最大值。

设 $A,B$ 是双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=\lambda$ 上的两点，点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点，线段 $AB$ 的垂直平分线交双曲线于 $C,D$ 两点。

1. (1)

   确定 $\lambda$ 的取值范围；

2. (2)

   试判断 $A,B,C,D$ 四点是否共圆？并说明理由。

在单调递增数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2,a_2=4$，且 $a_{2n-1},a_{2n},a_{2n+1}$ 成等差数列，$a_{2n},a_{2n+1},a_{2n+2}$ 成等比数列，$n=1,2,3,\dots$。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   设数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，证明：$S_n>\frac{4n}{3(n+3)}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。