培玉 · 一试

2012 年河北预赛（高三卷）

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第 1 题

若关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + m x < 0$ 的解集为 ${x ∣ 0 < x < 2}$ ，则 $m =$ 。

第 2 题

$\int_{1}^{2} 4 - x^{2} d x =$ 。

第 3 题

在 $△ A BC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边长分别为 $a, b, c$ ， $S_{△} = a^{2} - (b - c)^{2}$ ，则 $tan \frac{A}{2} =$ 。

第 4 题

有红、黄、蓝三套卡片，每套五张，分别标有字母 $A, B, C, D, E$ 。若从这 $15$ 张卡片中，抽取 $5$ 张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法有种。

第 5 题

已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{7} = a_{6} + 2 a_{5}$ ，若存在两项 $a_{m}, a_{n}$ 使得 $a_{m} a_{n} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为。

第 6 题

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (a - 1) x^{2} + b^{2} x$ ，其中 $a \in {1, 2, 3, 4}$ ， $b \in {1, 2, 3}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数的概率为。

第 7 题

设椭圆 $C_{1} : \frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{12} = 1$ 与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 8 x$ 的一个交点为 $P (x_{0}, y_{0})$ ，定义

f (x) = {2 2 x, \frac{3}{2} 16 - x^{2}, 0 < x < x_{0}, x > x_{0} .

若直线 $y = a$ 与 $f (x)$ 交于 $A, B$ 两点，且已知定点 $N (2, 0)$ 。

则 $△ A BN$ 的周长的范围是。

第 8 题

已知动点 $P (x, y)$ 满足

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y \leq 2, x \geq 0, (x + x^{2} + 1) (y + y^{2} + 1) \geq 1,

则动点 $P (x, y)$ 构成图形的面积为。

第 9 题

在 $△ A BC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列。

(1)
求 $B$ 的取值范围；
(2)
若关于 $B$ 的方程 $3 cos B + sin B = m$ 恰有一解，求实数 $m$ 的值。

第 10 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{4}, a_{2} = \frac{3}{4}, a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ）；数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} \neq = \frac{1}{4}$ ， $3 b_{n} - b_{n - 1} = n$ （ $n \geq 2$ ），数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。

(1)
证明：数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 为等比数列；
(2)
若 $b_{1} = \frac{11}{12}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。

第 11 题

如图，设 $S - A BC D$ 是一个高为 $3$ 的四棱锥，底面 $A BC D$ 是边长为 $2$ 的正方形，顶点 $S$ 在底面上的射影是正方形 $A BC D$ 的中心。 $K$ 是棱 $SC$ 的中点，过 $A K$ 作平面与线段 $SB, S D$ 分别交于 $M, N$ （ $M, N$ 可以是线段的端点）。

(1)
求直线 $A K$ 与平面 $SBC$ 所成角的正弦值；
(2)
求证： $\frac{V _{S - M K N}}{V _{S - BC D}} = \frac{SM \cdot S K \cdot SN}{SB \cdot SC \cdot S D}$ ，并求当 $M$ 是 $SB$ 中点时四棱锥 $S - A M K N$ 的体积。

第 12 题

已知函数 $f (x) = ln x - a x$ ，其中 $a > 0$ ， $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 。

(1)
若当 $1 \leq x \leq e$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为 $- 4$ ，求函数 $f (x)$ 的表达式；
(2)
求 $a$ 的取值范围，使函数 $g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上是单调函数。

第 13 题

已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $E : \frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 内含圆 $C : x^{2} + y^{2} = \frac{8}{3}$ 。圆 $C$ 的切线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A, B$ 两点，满足 $O A ⊥ OB$ （ $O$ 为坐标原点）。

(1)
求 $b^{2}$ 的值；
(2)
求 $∣ A B ∣$ 的取值范围。

第 14 题

对正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为数 $3 n^{2} + n + 1$ 的十进制表示的数码和。

(1)
求 $f (n)$ 的最小值；
(2)
当 $n = 2 \cdot 1 0^{k} - 1$ （ $k$ 是正整数）时，求 $f (n)$ ；
(3)
是否存在一个正整数 $n$ ，使得 $f (n) = 2012$ ？