2011 年中科大少年班初试

设复数$z$满足$|z|<1$且$|\bar{z}+1/z|=5/2$，则$|z|$为（ ）

已知$y=x^3-x^2-2x+1$，过点$(-1,1)$的直线$l$与该函数图象相切，且$(-1,1)$不是切点，则直线$l$的斜率为（ ）

若$A+B=2\pi /3$，则${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B$的最小值和最大值分别为（ ）

如图，圆$O_1$和$O_2$外切于点$C$，圆$O_1$和$O_2$都与圆$O$内切，切点分别为$A,B$。设$\angle AOB=\alpha$，$\angle ACB=\beta$，则正确的是（ ）

已知向量$\vec{a}=(0,1),\vec{b}=(-\sqrt{3}/2,-1/2),\vec{c}=(\sqrt{3}/2,-1/2)$，若$x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}=(1,1)$，则$x^2+y^2+z^2$的最小值为（ ）

$AB$为过抛物线$y^2=4x$焦点$F$的弦，$O$为坐标原点，且$\angle OFA=135^{\circ }$，$C$为抛物线准线与$x$轴的交点，则$\angle ACB$的正切值为（ ）

如图，$△ABC$的面积为2，$D,E$分别是边$AB$和边$AC$上的点，$F$为线段$DE$上的一点。设$AD/AB=x,AE/AC=y,DF/DE=z$，且$y+z-x=1$，则$△BDF$面积的最大值为（ ）

将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则正确的是（ ）

1. A.

   存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形

2. B.

   存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形

3. C.

   存在某种分法，所分出的三角形至少有三个锐角三角形

4. D.

   任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形

已知$△ABC$不是直角三角形。

1. (1)

   证明：$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$。

2. (2)

   若$\sqrt{3}\tan C-1=(\tan B+\tan C)/\tan A$，且$\sin 2A,\sin 2B,\sin 2C$的倒数成等差数列，求$\cos ((A-C)/2)$的值。

已知圆柱形水杯质量为$a$克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置），质量为$b$克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心也在圆柱轴的中点处。

1. (1)

   若$b=3a$，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；

2. (2)

   水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

已知函数$f(x)=2x/(ax+b)$，$f(1)=1$，$f(1/2)=2/3$。令$x_1=1/2$，$x_{n+1}=f(x_n)$。

1. (1)

   求数列$\{x_n\}$的通项公式；

2. (2)

   证明$x_1{x}_2\cdots x_{n+1}>1/(2e)$。

已知双曲线$C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)$，$F_1,F_2$分别为$C$的左右焦点。$P$为$C$右支上一点，且使$\angle F_{1}P{F}_2=\pi /3$，且$△P{F}_1{F}_2$的面积为$3\sqrt{3}{a}^2$。

1. (1)

   求$C$的离心率$e$；

2. (2)

   设$A$为$C$的左顶点，$Q$为第一象限内$C$上的任意一点，问是否存在常数$\lambda (\lambda >0)$，使得$\angle Q{F}_{2}A=\lambda \angle QA{F}_2$恒成立。若存在，求出$\lambda$的值；若不存在，请说明理由。

掷一枚均匀的硬币连续掷$n$次，以$p_n$表示未出现连续3次正面向上的概率。

1. (1)

   求$p_1,p_2,p_3,p_4$；

2. (2)

   建立$p_n$的递推公式；

3. (3)

   讨论数列$\{p_n\}$的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。