2016 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 2$ ，且

f (x + 1) = \frac{1 + f ( x )}{1 - f ( x )}

对定义域内任意 $x$ 都成立。那么 $f (2016) =$ 。

从五个正整数 $a, b, c, d, e$ 中任取四个求和，得到的和值构成集合

{44, 45, 46, 47} 。

则 $a + b + c + d + e =$ 。

已知 $△ A BC$ 是等边三角形，椭圆 $Γ$ 的一个焦点为 $A$ ，另一个焦点 $F$ 在线段 $BC$ 上。如果椭圆 $Γ$ 恰好经过 $B, C$ 两点，则它的离心率为。

已知实数 $x, y$ 满足

\frac{x ^{2}}{3} + y^{2} = 1,

则

P = ∣ 2 x + y - 4 ∣ + ∣ 4 - x - 2 y ∣

的取值范围是。

袋子中有 $5$ 个白球、 $4$ 个红球和 $3$ 个黄球，从中任意取出 $4$ 个球，各种颜色的球都有的概率为。

以正十三边形的顶点为顶点的、形状不同的三角形共有个（说明：全等的三角形视为形状相同）。

已知质数 $p, q$ 满足 $q^{5} - 2 p^{2} = 1$ ，则 $p + q =$ 。

已知四面体的一条棱长为 $6$ ，其余棱长均为 $5$ ，则这个四面体的外接球的半径为。

已知 $MN$ 是边长为 $26$ 的等边三角形 $△ A BC$ 的外接圆的一条动弦，且 $MN = 4$ 。 $P$ 为 $△ A BC$ 的边上的动点，则

MP \cdot PN

的最大值为。

设 $[a]$ 表示不大于 $a$ 的最大整数，则方程

[\frac{x}{7}] = [\frac{x}{8}] + 1

的最大正整数解为。

已知

A = {x ∣ x^{2} < x}, B = {x ∣ x^{2} < lo g_{a} x},

且 $B ⊊ A$ ，求实数 $a$ 的取值范围。

已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = \frac{10}{3}$ ，且对任意实数 $x, y$ 恒有

f (x) f (y) = f (x + y) + f (x - y) . (1)

若数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{n} = 3 f (n) - f (n - 1), n \in N^{*},

(1)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
令 $b_{n} = \frac{24 a _{n}}{( 3 a _{n} - 8 ) ^{2}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证 $S_{n} < 1$ 。

过抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）外一点 $P$ 向抛物线作两条切线，切点为 $M, N$ ， $F$ 为抛物线的焦点。证明：