2012 年中科大少年班初试

在锐角$△ABC$中，$A>B>C$，则$\cos B$的取值范围为（ ）。

A. $(0,\sqrt{2}/2)$  B. $[1/2,\sqrt{2}/2)$  C. $(0,1)$  D. $(\sqrt{2}/2,1)$

正四棱锥$S-ABCD$中，侧棱与底面所成角为$\alpha$，侧面与底面所成二面角为$\beta$，侧棱$SB$与底面正方形$ABCD$的对角线$AC$所成角为$\gamma$，相邻两侧面所成二面角为$\theta$。则$\alpha ,\beta ,\gamma ,\theta$之间的大小关系是（ ）。

A. $\alpha <\beta <\theta <\gamma$  B. $\alpha <\beta <\gamma <\theta$

C. $\alpha <\gamma <\beta <\theta$  D. $\beta <\alpha <\theta <\gamma$

向量$\vec{a}\ne \vec{e}$，$|\vec{e}|=1$。若对任意$t\in \mathbb{R}$，都有$|\vec{a}-t\vec{e}|\ge |\vec{a}+\vec{e}|$，则（ ）。

A. $\vec{a}\perp \vec{e}$  B. $\vec{a}\perp (\vec{a}+\vec{e})$

C. $\vec{e}\perp (\vec{a}+\vec{e})$  D. $(\vec{a}+\vec{e})\perp (\vec{a}-\vec{e})$

若复数$\frac{\omega -1}{\omega +1}$的实部为0，$Z$是复平面上对应$\frac{1}{1+\omega }$的点，则点$Z(x,y)$的轨迹是（ ）。

A. 一条直线  B. 一条线段  C. 一个圆  D. 一段圆弧

椭圆长轴长为4，左顶点在圆$(x-4{)}^2+(y-1{)}^2=4$上，左准线为$y$轴，则此椭圆离心率$e$的取值范围是（ ）。

A. $[1/8,1/4]$  B. $[1/4,1/2]$  C. $[1/8,1/2]$  D. $[1/2,3/4]$

已知三棱锥$S-ABC$的底面$ABC$为正三角形，点$A$在侧面$SBC$上的射影$H$是$△SBC$的垂心，二面角$H-AB-C$为$30^{\circ }$，且$SA=2$，则此三棱锥的体积为（ ）。

A. $1/2$  B. $\sqrt{3}/2$  C. $\sqrt{3}/4$  D. $3/4$

如图，在锐角$△ABC$中，$AB$边上的高$CE$与$AC$边上的高$BD$交于点$H$。以$DE$为直径作圆，与$AC$的另一个交点为$G$。已知$BC=25,BD=20,BE=7$，则$AG$的长为（ ）。

A. 8  B. $42/5$  C. 10  D. $54/5$

已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\lg \left(1+\frac{2}{n^2+3n}\right)(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。设$S_n$是数列的前$n$项和，则${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$的值为（ ）。

A. 0  B. $\lg (3/2)$  C. $\lg 2$  D. $\lg 3$

已知$-6\le x_i\le 10(i=1,2,\dots ,10)$、${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i=50$。当${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2$取得最大值时，在$x_1,x_2,\dots ,x_{10}$这十个数中等于$-6$的数共有（ ）。

A. 1个  B. 2个  C. 3个  D. 4个

在$△ABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$。已知$2{\sin }^2\frac{A+B}{2}-1+\cos 2C=0$。

1. (1)

   求角$C$的大小；

2. (2)

   若$c^2=2b^2-2a^2$，求$\cos 2A-\cos 2B$的值。

已知两点$A(-2,0),B(2,0)$，动点$P$在$y$轴上的射影是$H$，且$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=2|PH{|}^2$。

1. (1)

   求动点$P$的轨迹$C$的方程；

2. (2)

   已知过点$B$的直线交曲线$C$于$x$轴下方不同的两点$M,N$，设$MN$的中点为$R$，若点$Q(0,-2)$为定点，求直线$RQ$斜率的取值范围。

记函数$f_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}(n=1,2,3,\dots )$。证明：

1. (1)

   当$n$是偶数时，方程$f_n(x)=0$没有实根；

2. (2)

   当$n$是奇数时，方程$f_n(x)=0$有唯一的实根$x_n$，且$x_1>x_3>x_5>\cdots$。

某乒乓球培训班共有$n$位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定$n$的所有可能值，并分别给出对应的一种安排比赛的方案。