2012 年中科大少年班初试 · 第 14 题

解答

补记 $f_0=1$，则 $f_k^{\prime }=f_{k-1}$。若 $f_{2k-2}>0$，则 $f_{2k-1}$ 严格递增；它是正首项系数奇次式，所以有唯一实根 $r_k$。因 $f_{2k-1}(0)=1$，知 $r_k<0$。而 $f_{2k}^{\prime }=f_{2k-1}$，故偶数阶式的全局最小值在 $r_k$，且

以 $f_0>0$ 开始同步归纳，所有偶数阶式都全轴为正、无实根，所有奇数阶式都有唯一负根。 再在 $x=-2k$ 处配对，得

所以由严格递增性有 $-2k<r_k<0$。于是

下一奇数阶式严格递增，其根必在 $r_k$ 左边，即 $r_{k+1}<r_k$。按题目的指标 $r_k=x_{2k-1}$，故