2013 年湖南预赛

设 $a={\left(\frac{3}{4}\right)}^x$，$b={\left(\frac{4}{3}\right)}^{x-1}$，$c={\log }_{\frac{3}{4}}x$，若 $x>1$，则将 $a,b,c$ 按从小到大的顺序排列为。

已知 $a,b$ 为常数，若 $f(x)=x^2+2x+a$，$f(bx)=4x^2-4x+1$，则 $f(ax+b)>0$ 的解集为。

已知向量 $\vec{a}=(0,1)$，$\vec{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$，$\vec{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$，$x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}=(1,1)$，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值为。

设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。若不等式 $a_n^2+\frac{S_n^2}{n^2}\ge \lambda a_1^2$ 对任何等差数列 $\{a_n\}$ 及任何正整数 $n$ 恒成立，则 $\lambda$ 的最大值为。

平面上三条直线 $x-2y+2=0$，$x-2=0$，$x+ky=0$，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则 $k$ 可能取值的个数是。

已知异面直线 $a,b$ 成 $60^{\circ }$ 角，$P$ 为空间中一定点，则过点 $P$ 且与 $a,b$ 均成 $45^{\circ }$ 角的平面的个数是。

有一个 $1,2,3,\dots ,9$ 的排列，现将其重新排列，则 $1$ 和 $2$ 不在原来位置的概率是。（答案中可含有排列数表示式。）

若 $\sin (x+20^{\circ })=\cos (x+10^{\circ })+\cos (x-10^{\circ })$，则 $\tan x=\underline{}$。

今天（2013年7月19日）是星期五，则 $3^{2013}$ 天之后是星期。

如图所示，在对边乘积相等的圆内接凸四边形 $ABCD$ 中，$M$ 为对角线 $BD$ 的中点，$T$ 为劣弧 $BC$ 上一点，且 $CT\Vert DB$。求证：$A,M,T$ 三点共线。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   证明：

   $$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}<\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots +\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{n}{2}.$$

已知 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆

上的一点。

1. (1)

   设直线 $l$ 为过点 $P$ 的椭圆的切线，试求过椭圆焦点 $F(-c,0)$ 且垂直于 $l$ 的直线方程，其中 $c^2=a^2-b^2$；

2. (2)

   求证：椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心，且过长轴顶点的圆。

$2013$ 个白球和 $2014$ 个黑球任意排成一列。求证：无论如何排列，都至少有一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为 $0$）。