2013 年湖南预赛 · 第 4 题

解答

设首项为a、公差为d。令 $b=(n-1)d$，则 $a_n=a+b$、$S_n/n=a+b/2$。于是 $a_n^2+S_n^2/n^2=(a+b{)}^2+(a+b/2{)}^2=\frac{5}{4}(b+6a/5{)}^2+\frac{1}{5}{a}^2\ge \frac{1}{5}{a}^2$。故 $\lambda =1/5$ 对所有n均可行。取 $n=2,a\ne 0,d=-6a/5$ 可取到等号，所以任何更大值均不成立，最大值为 $\boxed{1/5}$。