2013 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设集合 $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ ， $B = {2, 4, 6, 18}$ ，若

C = {a + b ∣ a \in A, b \in B},

则集合 $C$ 的所有元素之和为。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = 0$ ， $a_{1} = 1$ ，且

a_{2 n} = a_{n}, a_{2 n + 1} = a_{n} + 1 (n \in N^{*}),

则 $a_{2013} =$ 。

设函数

f (x) = {2^{x}, ∣ lo g_{2} x ∣, x \leq 0, x > 0,

则方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的解集为。

4. 函数

y = \frac{1}{∣ sin x ∣} + \frac{1}{∣ cos x ∣} + \frac{1}{∣ tan x ∣} + \frac{1}{∣ cot x ∣}

的最小值为。

设 $0 < x < y < \frac{π}{2}$ ，则

P = cos 2 x - cos 2 y - 4 cos x + 4 cos y

的取值范围是。

设 $F$ 为椭圆

C : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

的右焦点。过椭圆 $C$ 外一点 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线，切点为 $M$ 。若 $∠ PFM = 9 0^{\circ}$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为。

从集合 $A = {1, 2, 3, \dots, 30}$ 中取出五个不同的数，使这五个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为。

四面体 $P$ - $A BC$ 的体积为 $1$ ， $G$ 和 $K$ 分别是 $△ A BC$ 和 $△ PBC$ 的重心。过 $G$ 作直线分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，那么四棱锥 $K$ - $MNCB$ 的体积的最大值为。

已知互不相等的三个实数 $a, b, c$ 成等比数列，且 $lo g_{c} a$ 、 $lo g_{b} c$ 、 $lo g_{a} b$ 构成公差为 $d$ 的等差数列，则 $d =$ 。

已知 $a, b, c, d \in [- 1, + \infty)$ ，且 $a + b + c + d = 0$ ，则

ab + b c + c d

的最大值为。

11. 求函数

y = x^{2} + x x^{2} - 1

的值域。

已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 3$ ，且

a_{n + 1} = 2 + \frac{27 a _{n}}{9 a _{n}^{2} + 4 b _{n}^{2}}, b_{n + 1} = \frac{27 b _{n}}{9 a _{n}^{2} + 4 b _{n}^{2}}, n \in N^{*} .

(1)
证明：对一切 $n \in N^{*}$ ，有
$\frac{( a _{n} - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{b _{n}^{2}}{9} = 1.$
(2)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式。

设 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

内一定点（不在坐标轴上）。过点 $P$ 的两条直线分别与椭圆交于 $A, C$ 和 $B, D$ ，若 $A B ∥ C D$ 。